新疆大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．（15 分）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导且无界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 也无界，反之则不然．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：正向证明：假设导函数有界，推出原函数有界，与已知矛盾
已知 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导且无界。假设 $f'(x)$ 有界，即存在 $M>0$，使得对任意 $x\in(a,b)$，有 $|f'(x)|\le M$。取定 $x_0\in(a,b)$，由拉格朗日中值定理，对任意 $x\in(a,b)$，存在介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使得 $f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$。于是 $|f(x)-f(x_0)|\le M|x-x_0|$。由于区间长度 $L=b-a$ 有限，故 $|f(x)|\le |f(x_0)|+ML$，即 $f(x)$ 有界，与已知矛盾。因此 $f'(x)$ 无界。
公式：f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)
提示：注意拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里对任意 $x$ 与 $x_0$ 构成的闭区间均满足条件。
步骤 2/2
目标：反向说明：构造反例，导函数无界但原函数有界
考虑区间 $(0,1)$，令 $f(x)=\sqrt{x}$。则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上可导，且 $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。当 $x\to 0^+$ 时，$f'(x)\to +\infty$，故 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 上无界。但 $f(x)=\sqrt{x}$ 满足 $0<\sqrt{x}<1$，因此 $f(x)$ 有界。这说明“导函数无界”不能推出“原函数无界”，即逆命题不成立。
公式：f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
提示：反例需满足可导且导函数无界，但函数本身有界；注意区间端点处行为。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。