新疆大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．（15 分）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}(0<x<2 \pi, p>0)$ 的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简通项中的因子
考虑通项中的因子 $(1+\frac{1}{n})^n$。由重要极限 $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$，且该数列单调递增。因此存在正常数 $C_1, C_2$（例如 $C_1=2$, $C_2=e$）使得对所有 $n\ge 1$ 有 $C_1 \le (1+\frac{1}{n})^n \le C_2$。故该因子有正上下界，不影响级数的绝对收敛性判断。
公式：\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e, \quad 2 \le \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \le e \quad (n\ge 1)
提示：注意该因子恒正且有界，因此级数的敛散性本质上等价于 $\sum \frac{\sin(nx)}{n^p}$ 的敛散性。
步骤 2/5
目标：讨论 $p>1$ 时的绝对收敛性
当 $p>1$ 时，利用 $|\sin(nx)| \le 1$，有 $\left|\frac{\sin(nx)}{n^p}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right| \le \frac{e}{n^p}$。由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 时收敛，由比较判别法知原级数绝对收敛，从而收敛。
公式：\left|\frac{\sin(nx)}{n^p}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right| \le \frac{e}{n^p}, \quad \sum \frac{1}{n^p}\text{ 收敛当 }p>1
提示：这里用到了 $(1+1/n)^n \le e$ 的上界，注意 $p>1$ 是 $p$ 级数收敛的临界条件。
步骤 3/5
目标：讨论 $0
先考虑 $\sum \frac{\sin(nx)}{n^p}$。由于 $x\in(0,2\pi)$，部分和 $S_N(x)=\sum_{n=1}^N \sin(nx)$ 有界（可用和差化积公式得到 $|S_N(x)|\le \frac{1}{|\sin(x/2)|}$）。而 $\frac{1}{n^p}$ 单调递减趋于 $0$，由狄利克雷判别法知 $\sum \frac{\sin(nx)}{n^p}$ 收敛。再考虑因子 $(1+1/n)^n$，它单调递增且有界，由阿贝尔判别法知原级数 $\sum \frac{\sin(nx)}{n^p}(1+1/n)^n$ 收敛。
公式：\left|\sum_{n=1}^N \sin(nx)\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}, \quad \frac{1}{n^p}\searrow 0, \quad (1+1/n)^n \nearrow e
提示：狄利克雷判别法要求部分和有界且系数单调趋于0；阿贝尔判别法要求已知级数收敛且另一因子单调有界。注意 $x$ 不能是 $0$ 或 $2\pi$，否则 $\sin(nx)\equiv0$，但题目已限定 $0
步骤 4/5
目标：讨论 $0
考虑绝对值级数 $\sum \left|\frac{\sin(nx)}{n^p}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right|$。由于 $(1+1/n)^n \ge 2$（$n\ge 1$），有 $\left|\frac{\sin(nx)}{n^p}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right| \ge \frac{2|\sin(nx)|}{n^p}$。而 $\sum \frac{|\sin(nx)|}{n^p}$ 在 $0
公式：\left|\frac{\sin(nx)}{n^p}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right| \ge \frac{2|\sin(nx)|}{n^p}, \quad \sum \frac{|\sin(nx)|}{n^p}\text{ 发散当 }0
提示：注意 $|\sin(nx)|$ 不恒为0，且其部分和平均值趋于 $2/\pi$，因此 $\sum |\sin(nx)|/n^p$ 与 $\sum 1/n^p$ 同敛散（发散）。
步骤 5/5
目标：综合结论
综上所述，对于 $00$：
- 当 $p>1$ 时，级数绝对收敛；
- 当 $0
公式：\text{敛散性结论：}\begin{cases} p>1 & \text{绝对收敛} \\ 0
提示：注意 $p=1$ 是临界情况，属于条件收敛；$p$ 越小收敛性越弱，但在此区间内仍收敛（非绝对）。
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