河南大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．计算曲线积分
$$
I=\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $\displaystyle L:\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2 \\ x^{2}+y^{2}=1\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向看为逆时针．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解曲线与方向
曲线 $L$ 是平面 $x+y+z=2$ 与圆柱面 $x^2+y^2=1$ 的交线，在空间中是一个椭圆。方向规定：从 $z$ 轴正向看为逆时针，这决定了后续曲面积分中法向量的选取。
公式：无
提示：方向判断是应用斯托克斯公式的关键，需确保法向量与曲线方向满足右手法则。
步骤 2/7
目标：应用斯托克斯公式，将曲线积分转化为曲面积分
由于 $L$ 是封闭曲线，且被积表达式为 $P\,dx+Q\,dy+R\,dz$，其中 $P=y^2-z^2$，$Q=2z^2-x^2$，$R=3x^2-y^2$，使用斯托克斯公式：
$$
\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS
$$
取 $S$ 为平面 $x+y+z=2$ 上以 $L$ 为边界的椭圆盘。
公式：斯托克斯公式：$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS$
提示：曲面 $S$ 的选择应尽量简单，通常取曲线所在的平面区域。
步骤 3/7
目标：计算旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$
计算旋度各分量：
$$
\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)
$$
具体计算：
- $\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2-y^2) = -2y$，$\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2z^2-x^2) = 4z$，第一分量为 $-2y-4z$。
- $\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(y^2-z^2) = -2z$，$\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2-y^2) = 6x$，第二分量为 $-2z-6x$。
- $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2z^2-x^2) = -2x$，$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^2-z^2) = 2y$，第三分量为 $-2x-2y$。
故旋度向量为：
$$
\nabla \times \mathbf{F} = (-2y-4z,\; -2z-6x,\; -2x-2y)
$$
公式：旋度公式：$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$
提示：计算旋度时注意偏导数的顺序和符号，避免混淆。
步骤 4/7
目标：确定曲面法向量并计算点积
曲面 $S$ 为平面 $x+y+z=2$，法向量可取 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$（单位化）。从 $z$ 轴正向看曲线逆时针，由右手法则，法向量应指向 $z$ 轴正方向一侧，$(1,1,1)$ 与 $z$ 轴正向夹角余弦为正，符合要求。
计算旋度与法向量的点积：
$$
(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}[(-2y-4z) + (-2z-6x) + (-2x-2y)] = \frac{1}{\sqrt{3}}(-8x -4y -6z)
$$
利用平面方程 $z = 2 - x - y$ 代入化简：
$$
-8x -4y -6(2-x-y) = -8x -4y -12 +6x +6y = -2x + 2y -12
$$
因此：
$$
(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2x + 2y -12)
$$
公式：点积：$(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2x + 2y -12)$
提示：法向量方向必须与曲线方向匹配，否则结果符号会相反。
步骤 5/7
目标：将曲面积分转化为二重积分
曲面 $S$ 在 $xy$ 平面上的投影为圆盘 $x^2+y^2 \le 1$。由 $z=2-x-y$ 得面积元 $dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy = \sqrt{1+(-1)^2+(-1)^2}\,dxdy = \sqrt{3}\,dxdy$。
曲面积分化为：
$$
\iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{x^2+y^2\le 1} \frac{1}{\sqrt{3}}(-2x+2y-12) \cdot \sqrt{3}\,dxdy = \iint_{x^2+y^2\le 1} (-2x+2y-12)\,dxdy
$$
公式：面积元：$dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$
提示：投影区域需根据曲面方程确定，注意 $dS$ 与 $dxdy$ 的转换系数。
步骤 6/7
目标：计算二重积分
积分区域 $x^2+y^2\le 1$ 关于 $x$ 和 $y$ 对称，奇函数 $-2x$ 和 $2y$ 的积分为零，仅剩常数项：
$$
\iint_{x^2+y^2\le 1} (-12)\,dxdy = -12 \times \text{圆盘面积} = -12 \times \pi \times 1^2 = -12\pi
$$
公式：圆盘面积：$\pi r^2$，其中 $r=1$
提示：利用对称性简化积分，注意奇函数在对称区域积分为零。
步骤 7/7
目标：得出曲线积分结果
由斯托克斯公式，曲线积分等于上述曲面积分的结果：
$$
I = -12\pi
$$
公式：无
提示：最终结果需检查符号是否与方向一致。
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