湖南大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4．解答如下问题：
（1）若 $\displaystyle 0<\eta<1$ ，证明：$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (\eta, 1)$ 上一致连续．
（2）证明 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明函数在(η,1)上一致连续
由于$0<\eta<1$，考虑闭区间$[\eta,1]$。函数$f(x)=\sin\frac{1}{x^2}$在$x\neq0$时连续，而$\eta>0$，故$f(x)$在$[\eta,1]$上连续。根据一致连续性定理（康托定理），闭区间上的连续函数必一致连续，因此$f(x)$在$[\eta,1]$上一致连续。由于$(\eta,1)\subset[\eta,1]$，取相同的$\delta$，则$f(x)$在$(\eta,1)$上也一致连续。
公式：一致连续定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1,x_2\in(\eta,1),|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意闭区间上连续函数的一致连续性定理是本题的关键，但需确保区间端点$\eta>0$以避免$x=0$处的奇点。
步骤 2/3
目标：构造反例证明函数在(0,1)上不一致连续
取两个点列：$x_n=\frac{1}{\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}}$，$y_n=\frac{1}{\sqrt{2n\pi}}$，其中$n$充分大使得$x_n,y_n\in(0,1)$。计算函数值：$f(x_n)=\sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1$，$f(y_n)=\sin(2n\pi)=0$，故$|f(x_n)-f(y_n)|=1$。
公式：$|x_n-y_n|=\left|\frac{1}{\sqrt{2n\pi+\pi/2}}-\frac{1}{\sqrt{2n\pi}}\right|=\frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi}\sqrt{2n\pi+\pi/2}(\sqrt{2n\pi}+\sqrt{2n\pi+\pi/2})}\to0$（当$n\to\infty$）
提示：构造点列时，应使函数值差固定非零，而自变量差趋于0，常用正弦函数在$\pi/2$整数倍处的取值。
步骤 3/3
目标：验证反例满足不一致连续的条件
对$\varepsilon_0=\frac{1}{2}$，无论$\delta>0$多么小，取足够大的$n$使得$|x_n-y_n|<\delta$，但$|f(x_n)-f(y_n)|=1>\frac{1}{2}$，因此不存在满足一致连续定义的$\delta$，故$f(x)$在$(0,1)$上不一致连续。
公式：不一致连续定义：$\exists\varepsilon_0>0,\forall\delta>0,\exists x,y\in(0,1),|x-y|<\delta$但$|f(x)-f(y)|\geq\varepsilon_0$
提示：注意此处$\varepsilon_0$取$1/2$即可，因为函数值差为1，大于任何小于1的正数。
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