湖南大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7．解答如下问题：
（1）证明： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|x-\frac{a+b}{2}\right|^{n} \mathrm{~d} x=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{2^{n}(n+1)}$ ．
（2）已知 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, \int_{0}^{1} x^{k} f(x) \mathrm{d} x=0(k=0,1,2, \cdots, n-1)$ ．证明：
$$
\max _{x \in[0,1]}|f(x)| \geq 2^{n}(n+1)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明第一问中的积分等式（修正后）
令 $c = \frac{a+b}{2}$，则积分区间关于 $c$ 对称。作变量代换 $t = x - c$，则 $dx = dt$，当 $x = a$ 时 $t = -\frac{b-a}{2}$，当 $x = b$ 时 $t = \frac{b-a}{2}$。于是原积分化为 $\int_{-\frac{b-a}{2}}^{\frac{b-a}{2}} |t|^n dt$。由于 $|t|^n$ 是偶函数，该积分等于 $2 \int_0^{\frac{b-a}{2}} t^n dt$。计算得 $2 \cdot \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^{\frac{b-a}{2}} = \frac{2}{n+1} \left( \frac{b-a}{2} \right)^{n+1} = \frac{(b-a)^{n+1}}{2^n (n+1)}$。
公式：\int_a^b \left|x - \frac{a+b}{2}\right|^n dx = \frac{(b-a)^{n+1}}{2^n (n+1)}
提示：注意原题右侧为 $b^{n+1}-a^{n+1}$，但实际推导结果为 $(b-a)^{n+1}$，后者在区间 $[0,1]$ 时与前者一致，此处采用正确形式。
步骤 2/4
目标：构造多项式并利用已知条件计算内积
考虑多项式 $P(x) = \left(x - \frac12\right)^n$。将其按二项式定理展开：$P(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k \left(-\frac12\right)^{n-k}$。计算 $\int_0^1 P(x) f(x) dx = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(-\frac12\right)^{n-k} \int_0^1 x^k f(x) dx$。由已知条件，当 $k=0,1,\dots,n-1$ 时 $\int_0^1 x^k f(x) dx = 0$，而 $\int_0^1 x^n f(x) dx = 1$，故仅 $k=n$ 项非零，得 $\int_0^1 P(x) f(x) dx = \binom{n}{n} \left(-\frac12\right)^0 \cdot 1 = 1$。
公式：\int_0^1 \left(x - \frac12\right)^n f(x) dx = 1
提示：注意展开时符号的处理，以及只有最高次项贡献。
步骤 3/4
目标：应用绝对值不等式放缩
由积分的绝对值不等式：$1 = \left| \int_0^1 P(x) f(x) dx \right| \le \int_0^1 |P(x)| \cdot |f(x)| dx \le \max_{x \in [0,1]} |f(x)| \int_0^1 |P(x)| dx$。
公式：\left| \int_0^1 P(x) f(x) dx \right| \le \max_{x \in [0,1]} |f(x)| \int_0^1 |P(x)| dx
提示：注意绝对值不等式的方向，以及最大值可以提到积分号外。
步骤 4/4
目标：计算 $\int_0^1 |P(x)| dx$ 并得到最终不等式
由于 $|P(x)| = \left|x - \frac12\right|^n$，利用第一问的结论（取 $a=0, b=1$）得 $\int_0^1 \left|x - \frac12\right|^n dx = \frac{1}{2^n (n+1)}$。代入不等式得 $1 \le \max_{x \in [0,1]} |f(x)| \cdot \frac{1}{2^n (n+1)}$，即 $\max_{x \in [0,1]} |f(x)| \ge 2^n (n+1)$。
公式：\max_{x \in [0,1]} |f(x)| \ge 2^n (n+1)
提示：注意第一问中区间为 $[a,b]$，此处代入 $a=0,b=1$ 得到具体数值。
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