福州大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6、（20 分）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{2 x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(2+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ ，方向取下侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确曲面与方向
曲面 $\Sigma$ 是上半球面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$，即 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 且 $z \ge 0$。方向取下侧，意味着法向量指向下方，与 $z$ 轴正方向夹角大于 $90^\circ$，因此 $dx\,dy$ 项在投影到 $xy$ 平面时取负号。
公式：$\Sigma: z = \sqrt{4 - x^2 - y^2},\ z \ge 0$，取下侧
提示：注意方向对积分符号的影响，下侧对应法向量的 $z$ 分量为负。
步骤 2/7
目标：将积分拆分为两项
原积分可写为 $I = \iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dx\,dy$，其中 $P = \frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$，$Q = \frac{(2+z)^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$。没有 $dz\,dx$ 项。
公式：$I = \iint_{\Sigma} \frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,dy\,dz + \frac{(2+z)^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,dx\,dy$
提示：第二型曲面积分中，$dy\,dz$、$dz\,dx$、$dx\,dy$ 分别对应法向量的 $x$、$y$、$z$ 分量。
步骤 3/7
目标：参数化上半球面并确定法向量方向
采用球坐标参数化：$x = 2\sin\theta\cos\phi$，$y = 2\sin\theta\sin\phi$，$z = 2\cos\theta$，其中 $\theta \in [0, \pi/2]$，$\phi \in [0, 2\pi]$。计算外法向：$\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi = (4\sin^2\theta\cos\phi,\ 4\sin^2\theta\sin\phi,\ 4\sin\theta\cos\theta)$。由于取下侧，取相反方向：$d\mathbf{S} = (-4\sin^2\theta\cos\phi,\ -4\sin^2\theta\sin\phi,\ -4\sin\theta\cos\theta)\,d\theta d\phi$。
公式：$\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi = (4\sin^2\theta\cos\phi,\ 4\sin^2\theta\sin\phi,\ 4\sin\theta\cos\theta)$
提示：球面外法向由 $\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi$ 给出，下侧取负号。
步骤 4/7
目标：将积分转化为参数形式
分母 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=2$。第一项：$P\,dy\,dz = x\,dy\,dz$，其中 $dy\,dz = (-4\sin^2\theta\cos\phi)\,d\theta d\phi$，$x=2\sin\theta\cos\phi$，故被积函数为 $-8\sin^3\theta\cos^2\phi$。第二项：$Q = \frac{(2+2\cos\theta)^2}{2} = 2(1+\cos\theta)^2$，$dx\,dy = (-4\sin\theta\cos\theta)\,d\theta d\phi$，故被积函数为 $-8(1+\cos\theta)^2\sin\theta\cos\theta$。总被积表达式为 $[-8\sin^3\theta\cos^2\phi -8(1+\cos\theta)^2\sin\theta\cos\theta]\,d\theta d\phi$。
公式：$I = \iint_{[0,\pi/2]\times[0,2\pi]} \left[-8\sin^3\theta\cos^2\phi -8(1+\cos\theta)^2\sin\theta\cos\theta\right] d\theta d\phi$
提示：注意 $dy\,dz$ 和 $dx\,dy$ 分别对应法向量的 $x$ 和 $z$ 分量，不要混淆。
步骤 5/7
目标：对 $\phi$ 积分并化简
先对 $\phi$ 积分：$\int_0^{2\pi} \cos^2\phi\,d\phi = \pi$，第二项与 $\phi$ 无关，乘 $2\pi$。于是 $I = \int_0^{\pi/2} \left[-8\sin^3\theta \cdot \pi -8(1+\cos\theta)^2\sin\theta\cos\theta \cdot 2\pi\right] d\theta = -8\pi \int_0^{\pi/2} \sin^3\theta\,d\theta -16\pi \int_0^{\pi/2} (1+\cos\theta)^2\sin\theta\cos\theta\,d\theta$。
公式：$I = -8\pi \int_0^{\pi/2} \sin^3\theta\,d\theta -16\pi \int_0^{\pi/2} (1+\cos\theta)^2\sin\theta\cos\theta\,d\theta$
提示：注意 $\int_0^{2\pi} \cos^2\phi\,d\phi = \pi$，不要误算为 $2\pi$。
步骤 6/7
目标：计算两个定积分
第一个积分：$\int_0^{\pi/2} \sin^3\theta\,d\theta = \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2\theta)\sin\theta\,d\theta$，令 $u=\cos\theta$，$du=-\sin\theta d\theta$，积分变为 $\int_0^1 (1-u^2)\,du = \left[u - \frac{u^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3}$。
第二个积分：$\int_0^{\pi/2} (1+\cos\theta)^2\sin\theta\cos\theta\,d\theta$，令 $t=\cos\theta$，$dt=-\sin\theta d\theta$，则 $\sin\theta\cos\theta d\theta = -t\,dt$，积分变为 $\int_0^1 t(1+t)^2\,dt = \int_0^1 (t+2t^2+t^3)\,dt = \left[\frac{t^2}{2} + \frac{2t^3}{3} + \frac{t^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6+8+3}{12} = \frac{17}{12}$。
公式：$\int_0^{\pi/2} \sin^3\theta\,d\theta = \frac{2}{3}$，$\int_0^{\pi/2} (1+\cos\theta)^2\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{17}{12}$
提示：换元时注意积分限的变化，以及 $\sin\theta\cos\theta d\theta = -t\,dt$ 的符号处理。
步骤 7/7
目标：代入结果得到最终答案
将积分结果代入：$I = -8\pi \cdot \frac{2}{3} - 16\pi \cdot \frac{17}{12} = -\frac{16\pi}{3} - \frac{272\pi}{12} = -\frac{16\pi}{3} - \frac{68\pi}{3} = -\frac{84\pi}{3} = -28\pi$。
公式：$I = -28\pi$
提示：计算时注意通分，避免分数运算错误。
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