苏州大学 2023年数学分析第9题
📝 题目
9．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一闭区域，$\displaystyle \Sigma$ 为其边界，且分段光滑，$\displaystyle u, v$ 有连续的二阶偏导数，证明：
$$
\iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为 $u$ 沿曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外法线方向的方向导数，$\displaystyle \nabla u, \nabla v$ 为 $\displaystyle u, v$ 的梯度．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾散度定理（高斯公式）
对于三维区域 $\Omega$ 及其边界曲面 $\Sigma$，散度定理指出：对于任意具有连续偏导数的向量场 $\mathbf{F}$，有
\[
\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS,
\]
其中 $\mathbf{n}$ 是 $\Sigma$ 的单位外法向量。
公式：\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS
提示：注意 $dV = dxdydz$，$dS$ 是面积元，且 $\mathbf{n}$ 必须指向区域外部。
步骤 2/5
目标：构造合适的向量场并计算其散度
考虑向量场 $\mathbf{F} = v \nabla u$，其中 $u, v$ 具有连续的二阶偏导数。计算其散度：
\[
\nabla \cdot (v \nabla u) = \nabla v \cdot \nabla u + v \, \nabla \cdot (\nabla u) = \nabla u \cdot \nabla v + v \Delta u,
\]
这里 $\Delta u = \nabla \cdot (\nabla u) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$。
公式：\nabla \cdot (v \nabla u) = \nabla u \cdot \nabla v + v \Delta u
提示：注意 $\nabla v \cdot \nabla u = \nabla u \cdot \nabla v$，两者相等。
步骤 3/5
目标：应用散度定理于向量场 $v \nabla u$
将 $\mathbf{F} = v \nabla u$ 代入散度定理：
\[
\iiint_{\Omega} (\nabla u \cdot \nabla v + v \Delta u) \, dV = \iint_{\Sigma} (v \nabla u) \cdot \mathbf{n} \, dS.
\]
公式：\iiint_{\Omega} (\nabla u \cdot \nabla v + v \Delta u) \, dV = \iint_{\Sigma} v (\nabla u \cdot \mathbf{n}) \, dS
提示：注意积分区域 $\Omega$ 和边界 $\Sigma$ 的对应关系，不要混淆。
步骤 4/5
目标：将边界项转化为方向导数形式
由方向导数的定义，$\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \mathbf{n}$，其中 $\mathbf{n}$ 是外法向。因此：
\[
\iint_{\Sigma} (v \nabla u) \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \, dS.
\]
代入上一步结果：
\[
\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dV + \iiint_{\Omega} v \Delta u \, dV = \iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \, dS.
\]
公式：\iint_{\Sigma} (v \nabla u) \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \, dS
提示：确保 $\frac{\partial u}{\partial n}$ 是沿外法向的方向导数，符号与 $\mathbf{n}$ 一致。
步骤 5/5
目标：移项得到最终等式
将上一步等式中的 $\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dV$ 移到等号右边：
\[
\iiint_{\Omega} v \Delta u \, dV = \iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \, dS - \iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dV.
\]
这正是要证明的格林第一恒等式。
公式：\iiint_{\Omega} v \Delta u \, dV = \iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \, dS - \iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dV
提示：注意移项时符号变化，不要遗漏负号。
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