西南交通大学 2025年数学分析第11题

给出的六个点中，前三个 $A(0,0,1), B(0,1,1), C(1,1,1)$ 在平面 $z=1$ 上，构成一个直角三角形，直角顶点在 $B$，两直角边长为1。后三个点 $D(0,0,2), E(0,2,2), F(2,2,2)$ 在平面 $z=2$ 上，构成一个相似的直角三角形，直角顶点在 $E$，两直角边长为2。连接对应顶点 $A-D, B-E, C-F$ 形成棱台，截面在高度 $z$ 处是相似的直角三角形。

观察截面：在高度 $z$ 处，三角形的直角边长度从 $z=1$ 时的1线性增长到 $z=2$ 时的2，因此 $y$ 的范围是 $0 \le y \le z$，$x$ 的范围是 $0 \le x \le y$（因为斜边为 $x=y$）。于是区域 $V$ 可表示为： $$ V = \{ (x,y,z): 1 \le z \le 2,\ 0 \le y \le z,\ 0 \le x \le y \}. $$

$\rho$ 是点 $(x,y,z)$ 到 $x$ 轴的距离，即 $\rho = \sqrt{y^2 + z^2}$，因此被积函数为 $\frac{1}{\rho^2} = \frac{1}{y^2 + z^2}$。三重积分为： $$ I = \iiint_V \frac{1}{y^2+z^2} \, dV = \int_{z=1}^2 \int_{y=0}^z \int_{x=0}^y \frac{1}{y^2+z^2} \, dx \, dy \, dz. $$

被积函数与 $x$ 无关，因此内层对 $x$ 的积分直接得到： $$ \int_{x=0}^y \frac{1}{y^2+z^2} \, dx = \frac{y}{y^2+z^2}. $$ 于是积分简化为： $$ I = \int_{z=1}^2 \int_{y=0}^z \frac{y}{y^2+z^2} \, dy \, dz. $$

固定 $z$，令 $u = y^2 + z^2$，则 $du = 2y\,dy$，即 $y\,dy = \frac{du}{2}$。当 $y=0$ 时 $u=z^2$，当 $y=z$ 时 $u=2z^2$。于是： $$ \int_{y=0}^z \frac{y}{y^2+z^2} \, dy = \int_{u=z^2}^{2z^2} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac12 \left[ \ln u \right]_{z^2}^{2z^2} = \frac12 (\ln(2z^2) - \ln(z^2)) = \frac12 \ln 2. $$

将内层积分结果代入： $$ I = \int_{z=1}^2 \frac12 \ln 2 \, dz = \frac12 \ln 2 \cdot (2 - 1) = \frac12 \ln 2. $$