西南交通大学 2026年数学分析第10题

区域 \(D\) 由条件 \(0 \leq x \leq y \leq 2\pi\) 确定，即 \(x\) 从 \(0\) 到 \(y\)，\(y\) 从 \(0\) 到 \(2\pi\)。在坐标系中，这是直线 \(y=x\) 上方、\(y=2\pi\) 下方、\(x=0\) 右侧的三角形区域。

令 \(u = x - y\)，\(v = y\)，则反解得 \(x = u + v\)，\(y = v\)。雅可比行列式为 \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\)，因此 \(dx\,dy = du\,dv\)。

原条件 \(0 \leq x \leq y \leq 2\pi\) 变换为：\(x \leq y\) 得 \(u \leq 0\)；\(0 \leq x\) 得 \(v \geq -u\)；\(y \leq 2\pi\) 得 \(v \leq 2\pi\)。新区域 \(D'\) 为：\(u\) 从 \(-2\pi\) 到 \(0\)，对每个 \(u\)，\(v\) 从 \(-u\) 到 \(2\pi\)。

积分化为 \(I = \int_{u=-2\pi}^{0} \int_{v=-u}^{2\pi} |\sin u| \, dv\, du\)。先对 \(v\) 积分，被积函数与 \(v\) 无关，内层积分结果为 \(|\sin u| \cdot (2\pi + u)\)。因此 \(I = \int_{-2\pi}^{0} (2\pi + u) |\sin u| \, du\)。

令 \(t = -u\)，则 \(u = -t\)，\(du = -dt\)，积分限变为 \(t\) 从 \(2\pi\) 到 \(0\)。代入得 \(I = \int_{2\pi}^{0} (2\pi - t) |\sin(-t)| (-dt) = \int_{0}^{2\pi} (2\pi - t) |\sin t| \, dt\)。由于 \(|\sin(-t)| = |\sin t|\)，结果成立。

在 \([0, 2\pi]\) 上，\(|\sin t|\) 分段：当 \(t \in [0, \pi]\) 时，\(\sin t \geq 0\)，\(|\sin t| = \sin t\)；当 \(t \in [\pi, 2\pi]\) 时，\(\sin t \leq 0\)，\(|\sin t| = -\sin t\)。因此 \(I = \int_{0}^{\pi} (2\pi - t) \sin t \, dt + \int_{\pi}^{2\pi} (2\pi - t)(-\sin t) \, dt\)。

计算 \(A = \int_{0}^{\pi} (2\pi - t) \sin t \, dt\)。使用分部积分：令 \(f = 2\pi - t\)，\(dg = \sin t\, dt\)，则 \(df = -dt\)，\(g = -\cos t\)。得 \(A = \left[-(2\pi - t)\cos t\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \cos t \, dt\)。边界项：\(t=\pi\) 时为 \(\pi\)，\(t=0\) 时为 \(-2\pi\)，差为 \(3\pi\)；积分 \(\int_{0}^{\pi} \cos t \, dt = 0\)。故 \(A = 3\pi\)。

计算 \(B = \int_{\pi}^{2\pi} (t - 2\pi) \sin t \, dt\)。令 \(u = t - 2\pi\)，则 \(t = u + 2\pi\)，\(dt = du\)，\(\sin t = \sin(u+2\pi) = \sin u\)，积分限变为 \(u\) 从 \(-\pi\) 到 \(0\)。得 \(B = \int_{-\pi}^{0} u \sin u \, du\)。由于 \(u \sin u\) 为偶函数，\(B = \int_{0}^{\pi} u \sin u \, du\)。再用分部积分：令 \(f = u\)，\(dg = \sin u\, du\)，得 \(\left[-u\cos u\right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos u \, du = \pi + 0 = \pi\)。故 \(B = \pi\)。

将两部分相加：\(I = A + B = 3\pi + \pi = 4\pi\)。