西南交通大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4、已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \text { 为有理数 } \\ 0, x \text { 为无理数，证明：仅在 } x=0 \text { 时可导．}\end{array}\right.$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数定义与证明目标
函数定义为：
$$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$
需要证明：该函数仅在 $x=0$ 处可导。
公式：$$f(x)=\begin{cases} x^{2}, & x \text{ 为有理数} \\ 0, & x \text{ 为无理数} \end{cases}$$
提示：注意有理数和无理数在实数中的稠密性，这是证明的关键工具。
步骤 2/5
目标：检验 $x=0$ 处的可导性
计算差商：
$$\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{f(h)}{h}$$
- 若 $h$ 为有理数，则 $f(h)=h^2$，差商 $=h \to 0$；
- 若 $h$ 为无理数，则 $f(h)=0$，差商 $=0 \to 0$。
因此极限为 $0$，故 $f'(0)=0$，在 $x=0$ 处可导。
公式：$$\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}=0$$
提示：注意 $f(0)=0$，且无论 $h$ 沿有理数还是无理数趋于 $0$，差商极限一致。
步骤 3/5
目标：考虑 $x_0 \neq 0$ 且 $x_0$ 为有理数的情况
设 $x_0 \in \mathbb{Q}$ 且 $x_0 \neq 0$，则 $f(x_0)=x_0^2$。
- 取无理数序列 $\{h_n\} \to 0$ 使 $x_0+h_n$ 为无理数，则差商 $= \frac{0 - x_0^2}{h_n}$，绝对值趋于 $\infty$；
- 取有理数序列 $\{h_n\} \to 0$ 使 $x_0+h_n$ 为有理数，则差商 $= \frac{(x_0+h_n)^2 - x_0^2}{h_n} = 2x_0 + h_n \to 2x_0$。
两种路径极限不同（一个无穷大，一个有限），故导数不存在。
公式：$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \text{ 不存在}$$
提示：利用有理数加无理数为无理数，有理数加有理数为有理数的性质构造序列。
步骤 4/5
目标：考虑 $x_0$ 为无理数的情况
设 $x_0 \notin \mathbb{Q}$，则 $f(x_0)=0$。
- 取有理数序列 $\{r_n\} \to x_0$（由有理数稠密性存在），则差商 $= \frac{r_n^2 - 0}{r_n - x_0}$，分子 $\to x_0^2 \neq 0$，分母 $\to 0$，绝对值趋于 $\infty$；
- 取无理数序列 $\{y_n\} \to x_0$，则差商 $= 0$，极限为 $0$。
两种路径极限不同，故导数不存在。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\frac{r_n^2}{r_n-x_0} \text{ 发散}$$
提示：注意无理数加有理数仍为无理数，因此直接取有理数点列逼近 $x_0$ 更简便。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上讨论：
- 在 $x=0$ 处，导数存在且为 $0$；
- 在任意 $x \neq 0$ 处，无论 $x$ 是有理数还是无理数，导数均不存在。
因此函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处可导。
公式：$$f'(x) \text{ 存在当且仅当 } x=0$$
提示：该函数是典型的仅在一点可导的连续函数（实际上在 $x=0$ 处连续，其余点不连续）。
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