西南财经大学 2025年数学分析第2题

设函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内处处可导，即对任意 $x \in (a, b)$，导数 $f'(x)$ 存在。要证明：$(a, b)$ 中的点要么是 $f'(x)$ 的连续点，要么是 $f'(x)$ 的第二类间断点。这意味着 $f'(x)$ 不可能有第一类间断点（可去间断点或跳跃间断点）。

达布定理指出：若 $f$ 在区间 $I$ 上可导，则导函数 $f'$ 具有介值性，即对于任意 $x_1, x_2 \in I$，若 $f'(x_1) < k < f'(x_2)$，则存在 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得 $f'(\xi) = k$。这一性质是证明的关键，它排除了 $f'$ 存在跳跃间断的可能性。

假设 $x_0 \in (a, b)$ 是 $f'$ 的第一类间断点，则 $f'$ 在 $x_0$ 处的左极限 $L^-$ 和右极限 $L^+$ 都存在且有限。考虑两种情况： 1. 若 $L^- \neq L^+$（跳跃间断），由拉格朗日中值定理，对 $x < x_0$，存在 $\xi_x \in (x, x_0)$ 使得 $\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} = f'(\xi_x)$。当 $x \to x_0^-$ 时，$\xi_x \to x_0^-$，故 $\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} = L^-$。但由导数定义，该极限等于 $f'(x_0)$，因此 $f'(x_0) = L^-$。同理，从右侧可得 $f'(x_0) = L^+$，从而 $L^- = L^+$，矛盾。 2. 若 $L^- = L^+$ 但 $L \neq f'(x_0)$（可去间断），同样由上述推导得 $f'(x_0) = L$，矛盾。 因此，$f'$ 不可能有第一类间断点。

另一种更简洁的证明：若 $f'$ 在 $x_0$ 处有跳跃间断，即 $L^- < L^+$（或相反），则取 $k$ 满足 $L^- < k < L^+$。由左极限定义，存在 $x_1 < x_0$ 使得 $f'(x_1) < k$；由右极限定义，存在 $x_2 > x_0$ 使得 $f'(x_2) > k$。但达布定理要求存在 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间使得 $f'(\xi) = k$，然而在 $x_0$ 附近 $f'$ 的值被左右极限限制，无法取到 $k$，矛盾。因此跳跃间断不可能。

由于 $f'$ 在 $(a, b)$ 内处处有定义，且不可能有第一类间断点，因此 $(a, b)$ 中的每一点要么是 $f'$ 的连续点（即左右极限等于函数值），要么是第二类间断点（即至少一侧极限不存在或为无穷大）。证毕。