西南财经大学 2025年数学分析第4题

当 $x \to +\infty$ 时，分母 $x^p + \sin x \sim x^p$，因为 $\sin x$ 有界。因此被积函数近似为 $\frac{\sin^2 x}{x^p \cdot x^p} = \frac{\sin^2 x}{x^{2p}}$。由于 $\sin^2 x$ 的平均值为 $1/2$，该积分的敛散性与 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{2p}} \, dx$ 一致。

$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{2p}} \, dx$ 收敛当且仅当 $2p > 1$，即 $p > \frac{1}{2}$。当 $0 < p \le \frac{1}{2}$ 时发散。另外，在 $x \ge 1$ 时，分母 $x^p + \sin x \ge 1 - 1 = 0$，但等号仅在 $x=1$ 且 $\sin 1 = -1$ 时成立，而 $\sin 1 \neq -1$，故无瑕点。

当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\sin x}{x^p+\sin x} \sim \frac{\sin x}{x^p}$。积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} \, dx$ 对任意 $p>0$ 由 Dirichlet 判别法条件收敛：$\frac{1}{x^p}$ 单调趋于 0，$\int_1^X \sin x \, dx$ 有界。分母在 $x \ge 1$ 时 $x^p+\sin x \ge 1-1=0$，但等号不成立（理由同前），故无瑕点。

将积分拆分为 $\int_0^1$ 和 $\int_1^{+\infty}$。$\int_1^{+\infty}$ 已在（2）中讨论，对所有 $p>0$ 收敛。当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x$，分母 $x^p+\sin x \sim x^p + x$。分情况： - 若 $p \ge 1$，分母 $\sim x$，被积函数 $\sim \frac{x}{x}=1$，积分 $\int_0^1 1 \, dx$ 收敛。 - 若 $0 < p < 1$，分母 $\sim x^p$（因为 $x^p$ 比 $x$ 衰减慢），被积函数 $\sim \frac{x}{x^p}=x^{1-p}$，积分 $\int_0^1 x^{1-p} \, dx$ 收敛当且仅当 $1-p > -1$，即 $p < 2$，这自动成立。