西安理工大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．求函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{x}{\sin ^{3} x}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型并通分
当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x^2} \to +\infty$，$\frac{x}{\sin^3 x} \to +\infty$，因此是 $\infty - \infty$ 型不定式。将两个分式通分，分母取为 $x^2 \sin^3 x$：
$$
\frac{1}{x^2} - \frac{x}{\sin^3 x} = \frac{\sin^3 x - x^3}{x^2 \sin^3 x}
$$
公式：\frac{1}{x^2} - \frac{x}{\sin^3 x} = \frac{\sin^3 x - x^3}{x^2 \sin^3 x}
提示：通分时注意分子和分母的对应关系，不要遗漏符号。
步骤 2/5
目标：利用等价无穷小简化分母
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此 $\sin^3 x \sim x^3$。于是分母 $x^2 \sin^3 x \sim x^2 \cdot x^3 = x^5$。原极限等价于：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 x - x^3}{x^5}
$$
公式：x^2 \sin^3 x \sim x^5 \quad (x \to 0)
提示：等价无穷小替换只能用于乘除因子，不能直接用于加减项。这里分母整体替换为 $x^5$ 是合理的。
步骤 3/5
目标：对分子进行泰勒展开
将 $\sin x$ 展开到 $x^5$ 项：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$。计算 $\sin^3 x$：
$$
\sin^3 x = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots\right)^3
$$
展开时，$x^3$ 项来自 $x^3$；$x^5$ 项来自 $3x^2 \cdot \left(-\frac{x^3}{6}\right) = -\frac{1}{2}x^5$，更高阶项不影响 $x^5$ 系数。因此：
$$
\sin^3 x = x^3 - \frac{1}{2}x^5 + O(x^7)
$$
公式：\sin^3 x = x^3 - \frac{1}{2}x^5 + O(x^7)
提示：泰勒展开时注意保留足够阶数，确保分子中 $x^5$ 项准确。计算立方时可用二项式展开或组合方法。
步骤 4/5
目标：代入分子并化简
将 $\sin^3 x$ 的展开式代入分子：
$$
\sin^3 x - x^3 = \left(x^3 - \frac{1}{2}x^5 + O(x^7)\right) - x^3 = -\frac{1}{2}x^5 + O(x^7)
$$
因此：
$$
\frac{\sin^3 x - x^3}{x^5} = -\frac{1}{2} + O(x^2)
$$
公式：\frac{\sin^3 x - x^3}{x^5} = -\frac{1}{2} + O(x^2)
提示：注意 $O(x^7)/x^5 = O(x^2)$，当 $x \to 0$ 时趋于0。
步骤 5/5
目标：取极限得到最终结果
当 $x \to 0$ 时，高阶项 $O(x^2) \to 0$，因此极限为：
$$
\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} - \frac{x}{\sin^3 x}\right) = -\frac{1}{2}
$$
公式：\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} - \frac{x}{\sin^3 x}\right) = -\frac{1}{2}
提示：最终结果是一个确定的常数，验证时可用数值逼近检查。
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