西安理工大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+a \cos x} d x, a \in(0,1)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用万能代换将三角函数有理化
令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则 $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx = \frac{2}{1+t^2}dt$。当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=\pi$ 时 $t \to +\infty$。原积分化为：
$$I = \int_0^\pi \frac{1}{1+a\cos x}dx = \int_0^\infty \frac{1}{1+a\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$$
公式：$t = \tan\frac{x}{2},\quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx = \frac{2}{1+t^2}dt$
提示：注意积分限的变化：$x=0$ 对应 $t=0$，$x=\pi$ 对应 $t\to+\infty$，不要遗漏无穷限。
步骤 2/4
目标：化简被积函数
分母化简：
$$1 + a\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{1+t^2 + a(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{(1+a) + (1-a)t^2}{1+t^2}$$
因此被积函数变为：
$$\frac{1}{\frac{(1+a)+(1-a)t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} = \frac{2}{(1+a)+(1-a)t^2}$$
所以
$$I = \int_0^\infty \frac{2}{(1+a)+(1-a)t^2} dt$$
公式：$\frac{2}{(1+a)+(1-a)t^2}$
提示：化简时注意分子分母的约分，不要遗漏常数因子2。
步骤 3/4
目标：计算标准积分
令 $A = 1+a > 0$，$B = 1-a > 0$，则
$$I = 2 \int_0^\infty \frac{dt}{A + B t^2}$$
利用公式 $\int_0^\infty \frac{dt}{A + B t^2} = \frac{\pi}{2\sqrt{AB}}$，得
$$I = 2 \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{(1+a)(1-a)}} = \frac{\pi}{\sqrt{1-a^2}}$$
公式：$\int_0^\infty \frac{dt}{A + B t^2} = \frac{\pi}{2\sqrt{AB}}$
提示：注意 $A>0,B>0$ 的条件，此处 $a\in(0,1)$ 保证分母不为零。
步骤 4/4
目标：验证结果合理性
当 $a=0$ 时，原积分为 $\int_0^\pi 1\,dx = \pi$，公式给出 $\pi/\sqrt{1-0} = \pi$，一致。
当 $a\to 1^-$ 时，分母 $\sqrt{1-a^2}\to 0$，积分发散，符合被积函数在 $x=\pi$ 附近出现奇点的情形。
公式：无
提示：参数检验是检查积分结果正确性的常用方法，尤其注意边界情况。
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