西安理工大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+\tan ^{2} x}-\sqrt{\cos x}}{x \sin x}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简分子中的表达式
利用三角恒等式 $1+\tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$，则 $\sqrt[3]{1+\tan^2 x} = \sqrt[3]{\frac{1}{\cos^2 x}} = (\cos x)^{-2/3}$，同时 $\sqrt{\cos x} = (\cos x)^{1/2}$。原极限化为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{(\cos x)^{-2/3} - (\cos x)^{1/2}}{x \sin x}.$$
公式：$1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
提示：注意 $\tan^2 x$ 与 $\sec^2 x$ 的关系，避免直接展开导致复杂计算。
步骤 2/5
目标：对分子进行泰勒展开
当 $x \to 0$ 时，$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。
第一项：$(\cos x)^{-2/3} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)^{-2/3}$，利用 $(1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u$，得 $1 + \left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{x^2}{2}\right) + o(x^2) = 1 + \frac{x^2}{3} + o(x^2)$。
第二项：$\sqrt{\cos x} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right) + o(x^2) = 1 - \frac{x^2}{4} + o(x^2)$。
公式：$(1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + o(u)$
提示：泰勒展开时注意保留到 $x^2$ 项，因为分母是 $x^2$ 阶。
步骤 3/5
目标：计算分子差
分子相减：$(1 + \frac{x^2}{3} + o(x^2)) - (1 - \frac{x^2}{4} + o(x^2)) = \frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{4} + o(x^2) = \frac{7}{12}x^2 + o(x^2)$。
公式：$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$
提示：合并 $o(x^2)$ 时注意是同阶无穷小。
步骤 4/5
目标：处理分母的等价无穷小
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，所以分母 $x \sin x \sim x \cdot x = x^2$。
公式：$\sin x \sim x \quad (x \to 0)$
提示：等价无穷小替换时注意分母整体是 $x^2$ 阶。
步骤 5/5
目标：求极限
将分子和分母的等价形式代入：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{12}x^2 + o(x^2)}{x^2} = \frac{7}{12}.$$
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} = 0$
提示：极限计算时，高阶无穷小项趋于0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。