西安理工大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7、计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{y d x-(x-1) d y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中
（1）$L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 y=0$ 的正向．
（2）$L$ 为圆周 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}-2 x=0$ 的正向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别被积表达式与奇点
给定曲线积分 $I=\oint_{L} \frac{y dx-(x-1) dy}{(x-1)^{2}+y^{2}}$，令 $P=\frac{y}{(x-1)^2+y^2}$，$Q=\frac{-(x-1)}{(x-1)^2+y^2}$。分母为零的点为 $(1,0)$，即奇点。
公式：$P=\frac{y}{(x-1)^2+y^2},\quad Q=\frac{-(x-1)}{(x-1)^2+y^2}$
提示：注意分母结构提示奇点位置，后续判断曲线是否包围该点至关重要。
步骤 2/6
目标：计算偏导数验证保守性
计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：
$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{(x-1)^2+y^2 - y\cdot 2y}{((x-1)^2+y^2)^2}=\frac{(x-1)^2 - y^2}{((x-1)^2+y^2)^2}$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{-((x-1)^2+y^2) + 2(x-1)^2}{((x-1)^2+y^2)^2}=\frac{(x-1)^2 - y^2}{((x-1)^2+y^2)^2}$$
故 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在除去 $(1,0)$ 的区域成立，向量场在单连通区域内保守。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{(x-1)^2 - y^2}{((x-1)^2+y^2)^2}$
提示：计算偏导时注意分母的链式法则，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：分析第(1)小题的曲线与奇点关系
曲线 $L: x^2+y^2-2y=0$ 化为标准形式：$x^2+(y-1)^2=1$，圆心 $(0,1)$，半径 $1$。奇点 $(1,0)$ 到圆心的距离为 $\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}>1$，故奇点在曲线外部。
公式：$x^2+(y-1)^2=1$，距离 $d=\sqrt{2}>1$
提示：判断奇点是否在曲线内部时，需计算曲线中心到奇点的距离并与半径比较。
步骤 4/6
目标：应用格林公式或保守场性质得第(1)小题结果
由于曲线不包围奇点，在曲线内部区域向量场处处可微且旋度为零，由格林公式或保守场性质，闭曲线积分为零：$I_1=0$。
公式：$\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy = 0$
提示：注意格林公式要求区域内无奇点，否则需挖洞处理。
步骤 5/6
目标：分析第(2)小题的曲线与奇点关系
曲线 $L: 4x^2+y^2-2x=0$ 化为标准形式：$4\left(x-\frac14\right)^2+y^2=\frac14$，即 $\frac{(x-\frac14)^2}{(1/4)^2}+\frac{y^2}{(1/2)^2}=1$，中心 $(\frac14,0)$，半长轴 $\frac12$（沿 $y$ 轴），半短轴 $\frac14$（沿 $x$ 轴）。奇点 $(1,0)$ 到中心的距离为 $\frac34$，而椭圆右端点为 $\frac14+\frac14=\frac12<1$，故奇点在椭圆外部。
公式：$\frac{(x-\frac14)^2}{(1/4)^2}+\frac{y^2}{(1/2)^2}=1$，右端点 $x=\frac12<1$
提示：椭圆需化为标准形式，正确找出半轴长度，再判断奇点是否在内部。
步骤 6/6
目标：应用格林公式或保守场性质得第(2)小题结果
由于曲线不包围奇点，在曲线内部区域向量场处处可微且旋度为零，故闭曲线积分为零：$I_2=0$。
公式：$\oint_L Pdx+Qdy = 0$
提示：与第(1)小题同理，注意曲线方向为正向不影响结果。
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