郑州大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}-1}$ 的收玫域及和函数，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求收敛半径
设 $a_n = \frac{1}{n^2-1}$，利用比值法求收敛半径：
$$
\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-1}{(n+1)^2-1} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-1}{n^2+2n} = 1
$$
因此收敛半径 $R = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$
提示：注意分母展开时 $(n+1)^2-1 = n^2+2n$，不要漏项。
步骤 2/7
目标：判断端点收敛性
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-1}$，由于 $\frac{1}{n^2-1} \sim \frac{1}{n^2}$，故收敛。
当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2-1}$，绝对值项同样 $\sim \frac{1}{n^2}$，绝对收敛。
因此收敛域为 $[-1,1]$。
公式：$\frac{1}{n^2-1} \sim \frac{1}{n^2}$
提示：端点处用比较判别法或绝对收敛判别，注意 $n=2$ 起始不影响渐近行为。
步骤 3/7
目标：分解通项为部分分式
由于 $n^2-1 = (n-1)(n+1)$，利用部分分式：
$$
\frac{1}{(n-1)(n+1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right)
$$
因此和函数可写为：
$$
S(x) = \frac12 \sum_{n=2}^\infty \left( \frac{x^n}{n-1} - \frac{x^n}{n+1} \right)
$$
公式：$\frac{1}{n^2-1} = \frac12\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right)$
提示：部分分式分解时注意系数 $\frac12$ 不要遗漏。
步骤 4/7
目标：处理第一个级数 $\sum \frac{x^n}{n-1}$
令 $m=n-1$，则 $n=m+1$，$m$ 从 $1$ 开始：
$$
\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n-1} = \sum_{m=1}^\infty \frac{x^{m+1}}{m} = x \sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m}
$$
利用已知展开式 $\sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m} = -\ln(1-x)$（$|x|<1$），得：
$$
= -x \ln(1-x)
$$
公式：$\sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m} = -\ln(1-x)$
提示：注意 $x=0$ 时需单独考虑，但此处为后续代入 $x=1/2$ 不涉及。
步骤 5/7
目标：处理第二个级数 $\sum \frac{x^n}{n+1}$
令 $k=n+1$，则 $n=k-1$，$k$ 从 $3$ 开始：
$$
\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n+1} = \sum_{k=3}^\infty \frac{x^{k-1}}{k} = \frac1x \sum_{k=3}^\infty \frac{x^k}{k}
$$
而 $\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x)$，故：
$$
\sum_{k=3}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x) - x - \frac{x^2}{2}
$$
因此第二部分为：
$$
\frac1x \left( -\ln(1-x) - x - \frac{x^2}{2} \right) = -\frac{\ln(1-x)}{x} - 1 - \frac{x}{2}
$$
公式：$\sum_{k=3}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x) - x - \frac{x^2}{2}$
提示：注意 $k$ 从 $3$ 开始，需减去前两项 $x$ 和 $x^2/2$。
步骤 6/7
目标：合并得到和函数表达式
将两部分代入 $S(x)$：
$$
S(x) = \frac12 \left[ -x\ln(1-x) - \left( -\frac{\ln(1-x)}{x} - 1 - \frac{x}{2} \right) \right]
= \frac12 \left[ -x\ln(1-x) + \frac{\ln(1-x)}{x} + 1 + \frac{x}{2} \right]
$$
合并 $\ln(1-x)$ 项：$-x + \frac{1}{x} = \frac{1-x^2}{x}$，得：
$$
S(x) = \frac12 \left( \frac{1-x^2}{x} \ln(1-x) + 1 + \frac{x}{2} \right)
= \frac{1-x^2}{2x} \ln(1-x) + \frac12 + \frac{x}{4}
$$
此式在 $x \in [-1,1]\setminus\{0\}$ 成立，$x=0$ 时由极限定义。
公式：$S(x) = \frac{1-x^2}{2x} \ln(1-x) + \frac12 + \frac{x}{4}$
提示：注意 $x=0$ 是奇点，但题目所求 $x=1/2$ 在定义域内。
步骤 7/7
目标：计算常数项级数的和
所求级数 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n^2-1)2^n}$ 即为 $S\left(\frac12\right)$。代入 $x=\frac12$：
$$
S\left(\frac12\right) = \frac{1 - (1/2)^2}{2 \cdot (1/2)} \ln\left(1-\frac12\right) + \frac12 + \frac{1/2}{4}
$$
计算：$1 - \frac14 = \frac34$，分母 $2 \cdot \frac12 = 1$，故第一项系数为 $\frac34$；$\ln(1/2) = -\ln 2$，第一项为 $-\frac34 \ln 2$。
后两项：$\frac12 + \frac18 = \frac58$。
因此和为：
$$
\frac58 - \frac34 \ln 2
$$
公式：$S\left(\frac12\right) = \frac58 - \frac34 \ln 2$
提示：代入时注意 $\ln(1/2) = -\ln 2$，符号不要弄错。
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