郑州大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．（10 分）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=F\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 确定，其中 $\displaystyle F(u)$ 为可导函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数．证明：函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程
$$
(c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对方程两边关于 x 求偏导
设 $u = x^2 + y^2 + z^2$，原方程为 $a x + b y + c z = F(u)$。对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x, y$ 的函数：
左边：$\frac{\partial}{\partial x}(a x + b y + c z) = a + c \frac{\partial z}{\partial x}$。
右边：$\frac{\partial}{\partial x} F(u) = F'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = F'(u) \left( 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} \right)$。
得到方程：$a + c z_x = F'(u) (2x + 2z z_x)$，记 $z_x = \frac{\partial z}{\partial x}$。
公式：a + c z_x = F'(u) (2x + 2z z_x)
提示：注意链式法则，$u$ 对 $x$ 的偏导包含 $z$ 的偏导项，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：对方程两边关于 y 求偏导
对 $y$ 求偏导：
左边：$\frac{\partial}{\partial y}(a x + b y + c z) = b + c \frac{\partial z}{\partial y}$。
右边：$\frac{\partial}{\partial y} F(u) = F'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = F'(u) \left( 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} \right)$。
得到方程：$b + c z_y = F'(u) (2y + 2z z_y)$，记 $z_y = \frac{\partial z}{\partial y}$。
公式：b + c z_y = F'(u) (2y + 2z z_y)
提示：与第一步对称，注意 $y$ 的偏导中 $x$ 视为常数。
步骤 3/5
目标：消去 F'(u)，建立关系式
由第一步和第二步分别解出 $F'(u)$：
$F'(u) = \frac{a + c z_x}{2x + 2z z_x} = \frac{b + c z_y}{2y + 2z z_y}$。
约去分母中的因子 2，得到：
$\frac{a + c z_x}{x + z z_x} = \frac{b + c z_y}{y + z z_y}$。
公式：\frac{a + c z_x}{x + z z_x} = \frac{b + c z_y}{y + z z_y}
提示：分母不为零是隐函数存在的前提，此处假设成立。
步骤 4/5
目标：交叉相乘并展开化简
交叉相乘：$(a + c z_x)(y + z z_y) = (b + c z_y)(x + z z_x)$。
展开左边：$a y + a z z_y + c y z_x + c z_x z z_y$。
展开右边：$b x + b z z_x + c x z_y + c z_y z z_x$。
注意到 $c z_x z z_y$ 项在两边相同，可以抵消。
公式：a y + a z z_y + c y z_x = b x + b z z_x + c x z_y
提示：抵消同类项时要仔细，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：整理得到目标方程
将上一步结果移项：$a y + a z z_y + c y z_x - b x - b z z_x - c x z_y = 0$。
按 $z_x$ 和 $z_y$ 合并：$(c y - b z) z_x + (a z - c x) z_y + (a y - b x) = 0$。
移项即得：$(c y - b z) \frac{\partial z}{\partial x} + (a z - c x) \frac{\partial z}{\partial y} = b x - a y$。
公式：(c y - b z) \frac{\partial z}{\partial x} + (a z - c x) \frac{\partial z}{\partial y} = b x - a y
提示：最终形式与题目一致，注意符号的移动。
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