华中师范大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．计算题
（1）计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(x^{3}-x^{2}+\frac{x}{2}\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ．
（2）将 $\displaystyle f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$ 展开成余弦级数．
（3）计算曲线 $\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$
（4）计算二重积分 $\displaystyle \iint \mathrm{e}^{\frac{y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D$ 为 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域。
（5）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，方向外侧。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/11
目标：计算极限：变量代换与化简
令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to +\infty$ 时 $t \to 0^+$。原式化为：
$$
\lim_{t\to 0^+} \left[ \left( \frac{1}{t^3} - \frac{1}{t^2} + \frac{1}{2t} \right) e^{t} - \sqrt{\frac{1}{t^6}+1} \right]
$$
注意 $\sqrt{x^6+1} = \frac{\sqrt{1+t^6}}{t^3}$，因此极限变为：
$$
\lim_{t\to 0^+} \frac{ \left(1 - t + \frac{t^2}{2}\right) e^{t} - \sqrt{1+t^6} }{t^3}
$$
公式：变量代换 $t = 1/x$，$\sqrt{x^6+1} = \sqrt{1+t^6}/t^3$
提示：注意 $x \to +\infty$ 对应 $t \to 0^+$，代换后要统一分母为 $t^3$。
步骤 2/11
目标：计算极限：泰勒展开分子
展开 $e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6} + \frac{t^4}{24} + O(t^5)$，计算乘积：
$$
(1 - t + \frac{t^2}{2}) e^t = 1 + \frac{t^3}{6} + \frac{t^4}{8} + O(t^5)
$$
同时 $\sqrt{1+t^6} = 1 + \frac{t^6}{2} + O(t^{12})$。
因此分子为：
$$
\left(1 + \frac{t^3}{6} + \frac{t^4}{8} + \cdots\right) - \left(1 + \frac{t^6}{2} + \cdots\right) = \frac{t^3}{6} + \frac{t^4}{8} + O(t^5)
$$
公式：$(1 - t + t^2/2)e^t = 1 + t^3/6 + t^4/8 + O(t^5)$
提示：展开时注意保留到 $t^3$ 项以上，因为分母是 $t^3$，且 $t^6$ 项不影响极限。
步骤 3/11
目标：计算极限：求极限值
将分子除以 $t^3$ 得：
$$
\frac{1}{6} + \frac{t}{8} + O(t^2)
$$
当 $t \to 0$ 时，极限为 $\frac{1}{6}$。
公式：$\lim_{t\to 0} \left( \frac{1}{6} + \frac{t}{8} + \cdots \right) = \frac{1}{6}$
提示：注意 $O(t^2)$ 项在 $t \to 0$ 时趋于 0。
步骤 4/11
目标：傅里叶余弦级数：计算系数 $a_0$
对 $f(x)=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上做偶延拓，周期为 $2\pi$。余弦级数系数公式：
$$
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \, dx = \frac{2}{\pi} \cdot 2 = \frac{4}{\pi}
$$
注意：常数项为 $\frac{a_0}{2} = \frac{2}{\pi}$。
公式：$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) dx$
提示：余弦级数对应偶延拓，系数公式中 $a_0$ 要除以 2 才是常数项。
步骤 5/11
目标：傅里叶余弦级数：计算系数 $a_n$
当 $n \ge 1$ 时：
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \cos(nx) \, dx
$$
利用积化和差 $\sin x \cos(nx) = \frac{1}{2}[\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)]$，积分得：
- 当 $n=1$ 时，$a_1 = 0$。
- 当 $n \neq 1$ 时，
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{1 - \cos((n+1)\pi)}{n+1} - \frac{1 - \cos((n-1)\pi)}{n-1} \right)
$$
由于 $\cos(k\pi) = (-1)^k$，化简得：
- 若 $n$ 为奇数，$a_n=0$。
- 若 $n$ 为偶数，设 $n=2k$，则
$$
a_{2k} = -\frac{4}{\pi(4k^2-1)}
$$
公式：$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \cos(nx) dx$，$a_{2k} = -\frac{4}{\pi(4k^2-1)}$
提示：注意 $n=1$ 时需单独处理，因为 $\sin((n-1)x)$ 为零。
步骤 6/11
目标：傅里叶余弦级数：写出展开式
余弦级数为：
$$
\sin x = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(2kx)}{4k^2-1}, \quad x \in [0,\pi]
$$
公式：$\sin x = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(2kx)}{4k^2-1}$
提示：该级数在端点 $x=0,\pi$ 处收敛到 0（因为偶延拓后连续）。
步骤 7/11
目标：曲线积分：化简被积函数
由于 $L: x^2+y^2=a^2$，分母为常数 $a^2$，原积分化为：
$$
\frac{1}{a^2} \oint_L (x+y) dx - (x-y) dy
$$
令 $P = x+y$，$Q = -(x-y) = -x+y$。
公式：$\oint_L \frac{(x+y)dx - (x-y)dy}{x^2+y^2} = \frac{1}{a^2} \oint_L Pdx + Qdy$
提示：注意 $Q$ 的符号：原式为 $-(x-y)dy$，所以 $Q = -x+y$。
步骤 8/11
目标：曲线积分：应用格林公式
计算偏导数：
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1
$$
由格林公式：
$$
\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \iint_D (-1 - 1) dxdy = -2 \cdot \pi a^2
$$
因此原积分为：
$$
\frac{1}{a^2} \cdot (-2\pi a^2) = -2\pi
$$
公式：格林公式 $\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D (Q_x - P_y) dxdy$
提示：注意格林公式中 $Q_x - P_y$ 的顺序，不要弄反。
步骤 9/11
目标：二重积分：变量代换
令 $u = x+y$，$v = y$，则 $x = u-v$，$y = v$，雅可比行列式为 $|J| = 1$。积分区域 $D$ 变为：$x=0 \Rightarrow u=v$，$y=0 \Rightarrow v=0$，$x+y=1 \Rightarrow u=1$，且 $0 \le v \le u$。积分化为：
$$
\iint_D e^{\frac{y}{x+y}} dxdy = \int_{u=0}^1 \int_{v=0}^u e^{\frac{v}{u}} \, dv \, du
$$
公式：变量代换 $u=x+y, v=y$，$|J|=1$
提示：注意 $x=0$ 对应 $u=v$，$y=0$ 对应 $v=0$，区域为三角形。
步骤 10/11
目标：二重积分：计算内层积分
先对 $v$ 积分，固定 $u$：
$$
\int_{v=0}^u e^{v/u} \, dv = u \cdot e^{v/u} \Big|_{v=0}^{v=u} = u(e - 1)
$$
然后对 $u$ 积分：
$$
\int_{u=0}^1 u(e-1) \, du = (e-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}
$$
公式：$\int_0^u e^{v/u} dv = u(e-1)$
提示：内层积分时 $u$ 视为常数，注意 $e^{v/u}$ 的原函数为 $u e^{v/u}$。
步骤 11/11
目标：曲面积分：应用高斯公式
曲面 $S$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$，方向外侧。由高斯公式：
$$
\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy = \iiint_V \left( \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} \right) dV = \iiint_V 3 \, dV
$$
其中 $V$ 为球体 $x^2+y^2+z^2 \le a^2$，体积为 $\frac{4}{3}\pi a^3$，因此积分值为 $3 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi a^3$。
公式：高斯公式 $\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_V (P_x+Q_y+R_z) dV$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，本题方向为外侧，直接应用即可。
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