华中师范大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}}{n}=a b
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与已知条件
已知数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 分别收敛于 \(a\) 和 \(b\)，即 \(\lim_{n\to\infty} a_n = a\)，\(\lim_{n\to\infty} b_n = b\)。需要证明卷积形式的平均值极限为 \(ab\)：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \cdots + a_n b_1}{n} = ab.
\]
公式：\lim_{n\to\infty} a_n = a,\quad \lim_{n\to\infty} b_n = b
提示：注意卷积形式是倒序相乘，不是简单的对应项相乘。
步骤 2/6
目标：引入偏差变量并改写表达式
设 \(\alpha_k = a_k - a\)，\(\beta_k = b_k - b\)，则当 \(k\to\infty\) 时，\(\alpha_k \to 0\)，\(\beta_k \to 0\)。将乘积展开：
\[
a_k b_{n+1-k} = (a + \alpha_k)(b + \beta_{n+1-k}) = ab + a\beta_{n+1-k} + b\alpha_k + \alpha_k \beta_{n+1-k}.
\]
公式：a_k b_{n+1-k} = ab + a\beta_{n+1-k} + b\alpha_k + \alpha_k \beta_{n+1-k}
提示：注意下标对应：\(b_{n+1-k}\) 中的下标随 \(k\) 变化，但求和时只需整体处理。
步骤 3/6
目标：求和并除以 n
对 \(k=1\) 到 \(n\) 求和：
\[
\sum_{k=1}^n a_k b_{n+1-k} = n ab + a\sum_{k=1}^n \beta_{n+1-k} + b\sum_{k=1}^n \alpha_k + \sum_{k=1}^n \alpha_k \beta_{n+1-k}.
\]
注意到 \(\sum_{k=1}^n \beta_{n+1-k} = \sum_{j=1}^n \beta_j\)（重排下标），于是：
\[
c_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k b_{n+1-k} = ab + a\cdot\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \beta_j + b\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k \beta_{n+1-k}.
\]
公式：c_n = ab + a\cdot\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \beta_j + b\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k \beta_{n+1-k}
提示：重排下标时注意求和范围不变，这是常用技巧。
步骤 4/6
目标：处理前两项的极限
由于 \(\alpha_k \to 0\)，根据数列极限的性质，前 \(n\) 项的平均也趋于 0：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k = 0.
\]
同理，\(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \beta_j = 0\)。因此：
\[
a\cdot\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \beta_j \to 0,\quad b\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k \to 0.
\]
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k = 0
提示：注意：数列趋于0并不意味着其前n项平均也趋于0？实际上这是成立的，因为若 \(\alpha_k \to 0\)，则对任意 \(\epsilon>0\)，存在 \(N\) 使 \(|\alpha_k|<\epsilon\) 对 \(k>N\) 成立，前 \(N\) 项贡献可忽略。
步骤 5/6
目标：处理最后一项的极限
由于 \(\{b_n\}\) 收敛，故 \(\{\beta_n\}\) 有界，存在 \(M>0\) 使得 \(|\beta_j| \le M\) 对所有 \(j\) 成立。于是：
\[
\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k \beta_{n+1-k}\right| \le \frac{M}{n}\sum_{k=1}^n |\alpha_k|.
\]
因为 \(\alpha_k \to 0\)，所以 \(|\alpha_k| \to 0\)，从而前 \(n\) 项绝对值的平均也趋于 0（证明同前）。因此：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k \beta_{n+1-k} = 0.
\]
公式：\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \alpha_k \beta_{n+1-k}\right| \le \frac{M}{n}\sum_{k=1}^n |\alpha_k|
提示：有界性来自收敛数列必有界，这是关键。注意绝对值平均趋于0的证明需要用到 \(\alpha_k \to 0\) 的定义。
步骤 6/6
目标：综合得出结论
由以上分析，\(c_n = ab + o(1)\)，其中 \(o(1)\) 表示趋于0的量。根据极限的四则运算法则：
\[
\lim_{n\to\infty} c_n = ab.
\]
即原极限成立。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \cdots + a_n b_1}{n} = ab
提示：最终结果简洁，但每一步的极限处理需严谨。
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