西北大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6、计算三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 围成的区域．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解积分区域并确定交线
锥面方程为 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$，上半球面方程为 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$。求交线：令 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，两边平方得 $x^2 + y^2 = 1 - x^2 - y^2$，解得 $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$，此时 $z = \frac{\sqrt{2}}{2}$。因此区域 $\Omega$ 是：在 $z$ 方向从锥面到上半球面，水平投影为圆盘 $x^2 + y^2 \le \frac{1}{2}$。
公式：$x^2 + y^2 = \frac{1}{2}, \quad z = \frac{\sqrt{2}}{2}$
提示：注意交线处两个曲面 $z$ 值相等，这是确定积分区域边界的关键。
步骤 2/5
目标：选择柱坐标系并写出积分表达式
由于区域具有旋转对称性，采用柱坐标系：$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta,\; z = z$，雅可比行列式为 $r$。积分区域：$0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le r \le \frac{\sqrt{2}}{2}$，对于每个 $r$，$z$ 从 $r$ 到 $\sqrt{1 - r^2}$。被积函数 $x+z = r\cos\theta + z$，三重积分化为：
$$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}/2} \int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} (r\cos\theta + z) \cdot r \, dz \, dr \, d\theta$$
公式：$I = \iiint_{\Omega} (x+z) \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}/2} \int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} (r\cos\theta + z) r \, dz \, dr \, d\theta$
提示：柱坐标中不要忘记雅可比因子 $r$，且 $z$ 的积分上下限需根据 $r$ 确定。
步骤 3/5
目标：将积分拆分为两部分并简化
将积分拆分为含 $\cos\theta$ 的部分和含 $z$ 的部分：
$$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}/2} \int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} r^2 \cos\theta \, dz \, dr \, d\theta + \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}/2} \int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} r z \, dz \, dr \, d\theta$$
第一部分 $I_1$ 中 $\int_{0}^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0$，因此 $I_1 = 0$。
公式：$I_1 = \left(\int_{0}^{2\pi} \cos\theta \, d\theta\right) \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}/2} r^2 \left(\int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} dz\right) dr = 0$
提示：利用三角函数的周期性可以快速消去一项，避免复杂计算。
步骤 4/5
目标：计算第二部分积分
第二部分 $I_2$ 为：
$$I_2 = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}/2} r \left( \int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} z \, dz \right) dr$$
先对 $z$ 积分：$\int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} z \, dz = \frac{1}{2} \left[ (\sqrt{1-r^2})^2 - r^2 \right] = \frac{1}{2} (1 - 2r^2)$。
于是：
$$I_2 = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}/2} r \cdot \frac{1}{2} (1 - 2r^2) \, dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{2}/2} (r - 2r^3) \, dr = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}/2} (r - 2r^3) \, dr$$
公式：$\int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} z \, dz = \frac{1}{2}(1 - 2r^2)$
提示：对 $z$ 积分时注意上下限代入要准确，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：计算定积分并得到最终结果
计算 $\int_{0}^{\sqrt{2}/2} (r - 2r^3) \, dr$：原函数为 $\frac{1}{2}r^2 - \frac{1}{2}r^4$，代入上下限：
$$\left[ \frac{1}{2}r^2 - \frac{1}{2}r^4 \right]_{0}^{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$
因此 $I_2 = \pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{\pi}{8}$。由于 $I_1 = 0$，最终 $I = \frac{\pi}{8}$。
公式：$\int_{0}^{\sqrt{2}/2} (r - 2r^3) \, dr = \frac{1}{8}$
提示：代入上限 $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，注意 $r^2 = \frac{1}{2}$，$r^4 = \frac{1}{4}$，计算要仔细。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。