西北大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7、求第一型曲线积分 $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 是
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R>0)$ 和 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析曲线性质与对称性
曲线 $L$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，由于平面过球心，交线是一个半径为 $R$ 的圆。平面方程对 $x,y,z$ 轮换对称，且曲线关于原点对称（点 $(x,y,z)$ 在曲线上时 $(-x,-y,-z)$ 也在曲线上，且 $ds$ 相同）。因此，奇函数 $x,y,z$ 的积分为零，而 $x^2,y^2,z^2$ 的积分值相等。
公式：\int_L x\,ds = \int_L y\,ds = \int_L z\,ds = 0,\quad \int_L x^2\,ds = \int_L y^2\,ds = \int_L z^2\,ds
提示：注意对称性成立的条件：曲线关于原点对称且被积函数为奇函数时积分才为零；这里平面过原点且球对称保证了对称性。
步骤 2/4
目标：利用球面方程化简二次项积分
由 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 在曲线上恒成立，对曲线积分得：
\[
\int_L (x^2+y^2+z^2)\,ds = R^2 \cdot \text{曲线长度}
\]
曲线是半径为 $R$ 的圆，长度 $=2\pi R$，所以
\[
\int_L (x^2+y^2+z^2)\,ds = 2\pi R^3
\]
设 $I_2 = \int_L x^2\,ds = \int_L y^2\,ds = \int_L z^2\,ds$，则 $3I_2 = 2\pi R^3$，解得 $I_2 = \frac{2\pi R^3}{3}$。
公式：\int_L (x^2+y^2+z^2)\,ds = 2\pi R^3,\quad I_2 = \frac{2\pi R^3}{3}
提示：曲线长度计算要准确：空间圆的半径等于球半径 $R$，不要误认为是投影圆的半径。
步骤 3/4
目标：计算原积分中的线性项
被积函数中的线性项 $3z$ 的积分为 $3\int_L z\,ds$。由于曲线关于原点对称且 $z$ 是奇函数，故 $\int_L z\,ds = 0$。
公式：\int_L z\,ds = 0
提示：奇函数在对称曲线上的积分为零，但需确认曲线确实关于原点对称且 $ds$ 不变。
步骤 4/4
目标：合并结果得到最终积分值
原积分 $\int_L (x^2+2y^2+3z)\,ds = \int_L x^2\,ds + 2\int_L y^2\,ds + 3\int_L z\,ds$。代入对称性结果：$\int_L x^2\,ds = I_2$，$\int_L y^2\,ds = I_2$，$\int_L z\,ds = 0$，得
\[
\text{原式} = I_2 + 2I_2 = 3I_2 = 3 \cdot \frac{2\pi R^3}{3} = 2\pi R^3
\]
公式：\int_L (x^2+2y^2+3z)\,ds = 2\pi R^3
提示：注意系数：$x^2$ 系数为1，$y^2$ 系数为2，不要漏乘或错乘。
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