西北大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8、计算第二类曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\left(2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}\right)^{3}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$为 $\displaystyle z=\sqrt{1-2 x^{2}-3 y^{2}}$ 的上侧．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面方程与积分简化
曲面方程为 $z = \sqrt{1 - 2x^2 - 3y^2}$，即 $2x^2 + 3y^2 + z^2 = 1$，$z \ge 0$，为上半椭球面，取上侧。积分分母为 $(2x^2+3y^2+z^2)^3$，在曲面上恒等于 $1$，因此积分简化为：
$$ I = \iint_{\Sigma} \left[ x\, dy\, dz - y\, dz\, dx + (z^3+1)\, dx\, dy \right] $$
公式：$$ I = \iint_{\Sigma} \frac{x\, dy\, dz - y\, dz\, dx + (z^3+1)\, dx\, dy}{(2x^2+3y^2+z^2)^3} = \iint_{\Sigma} \left[ x\, dy\, dz - y\, dz\, dx + (z^3+1)\, dx\, dy \right] $$
提示：注意分母在曲面上为常数1，这是简化关键。
步骤 2/5
目标：构造封闭曲面并应用高斯公式
曲面 $\Sigma$ 不封闭，补充底面 $\Sigma_1$：$z=0$，$2x^2+3y^2 \le 1$，取下侧（与 $\Sigma$ 的上侧构成封闭曲面外侧）。记封闭曲面为 $S = \Sigma \cup \Sigma_1$，外侧方向。对 $S$ 应用高斯公式：
$$ \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV $$
其中 $P = x$，$Q = -y$，$R = z^3+1$，$V$ 为上半椭球体 $2x^2+3y^2+z^2 \le 1$，$z \ge 0$。
公式：高斯公式：$$ \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV $$
提示：注意补充底面方向要与封闭曲面外侧一致，这里 $\Sigma$ 上侧，$\Sigma_1$ 下侧。
步骤 3/5
目标：计算散度与三重积分
计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial Q}{\partial y} = -1$，$\frac{\partial R}{\partial z} = 3z^2$，散度为 $3z^2$。于是：
$$ \iint_S = \iiint_V 3z^2\, dV $$
作变量替换简化椭球：令 $x = \frac{u}{\sqrt{2}}$，$y = \frac{v}{\sqrt{3}}$，$z = w$，则区域变为 $u^2+v^2+w^2 \le 1$，$w \ge 0$，雅可比行列式为 $\frac{1}{\sqrt{6}}$。积分化为：
$$ \iiint_V 3z^2\, dV = \iiint_{u^2+v^2+w^2 \le 1,\, w \ge 0} 3w^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\, du\,dv\,dw $$
使用球坐标：$u = r\sin\theta\cos\phi$，$v = r\sin\theta\sin\phi$，$w = r\cos\theta$，$r \in [0,1]$，$\theta \in [0,\pi/2]$，$\phi \in [0,2\pi]$，体积元 $du\,dv\,dw = r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi$。积分：
$$ \frac{3}{\sqrt{6}} \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^1 (r^2\cos^2\theta) \cdot r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi = \frac{3}{\sqrt{6}} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{5\sqrt{6}} $$
公式：$$ \iiint_V 3z^2\, dV = \frac{2\pi}{5\sqrt{6}} $$
提示：变量替换后注意雅可比行列式的计算，球坐标积分时注意 $w^2 = r^2\cos^2\theta$ 与体积元的乘法。
步骤 4/5
目标：计算底面积分
底面 $\Sigma_1$：$z=0$，取下侧。此时 $dz=0$，故 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项为零，仅剩 $dx\,dy$ 项。$R = z^3+1 = 1$。取下侧时 $dx\,dy$ 前取负号，因此：
$$ \iint_{\Sigma_1} R\, dx\, dy = \iint_D 1 \cdot (-dx\,dy) = -\text{Area}(D) $$
其中 $D$ 为椭圆 $2x^2+3y^2 \le 1$，即 $\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1/3} \le 1$，半轴长 $a = 1/\sqrt{2}$，$b = 1/\sqrt{3}$，面积 $= \pi ab = \pi/\sqrt{6}$。故底面贡献为 $-\pi/\sqrt{6}$。
公式：$$ \iint_{\Sigma_1} = -\frac{\pi}{\sqrt{6}} $$
提示：注意方向：下侧对应 $dx\,dy$ 系数为负，且 $z=0$ 时 $R=1$。
步骤 5/5
目标：求解原积分
由封闭曲面积分等于上半曲面与底面之和：
$$ \iint_S = I + \left( -\frac{\pi}{\sqrt{6}} \right) $$
代入已得结果：
$$ \frac{2\pi}{5\sqrt{6}} = I - \frac{\pi}{\sqrt{6}} $$
解得：
$$ I = \frac{2\pi}{5\sqrt{6}} + \frac{\pi}{\sqrt{6}} = \frac{2\pi}{5\sqrt{6}} + \frac{5\pi}{5\sqrt{6}} = \frac{7\pi}{5\sqrt{6}} $$
公式：$$ I = \frac{7\pi}{5\sqrt{6}} $$
提示：注意移项时符号不要出错，最终结果可保留此形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。