西北大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，令 $\displaystyle F(t)=\int_{0}^{1} \frac{t}{x^{2}+t^{2}} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle F(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处连续充分必要条件是 $\displaystyle f(0)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确问题，转化为极限条件
由 $F(t)$ 定义，$F(0)=\int_0^1 0\,dx=0$。$F(t)$ 在 $t=0$ 处连续等价于 $\lim_{t\to 0}F(t)=F(0)=0$，即 $\lim_{t\to 0}\int_0^1\frac{t}{x^2+t^2}f(x)\,dx=0$。因此问题转化为证明该极限为零的充要条件是 $f(0)=0$。
公式：\lim_{t\to 0}\int_0^1\frac{t}{x^2+t^2}f(x)\,dx=0 \iff f(0)=0
提示：注意 $F(0)$ 直接代入得0，连续性即极限等于0。
步骤 2/4
目标：证明必要性：若 $F(t)$ 在 $t=0$ 连续，则 $f(0)=0$
假设 $\lim_{t\to 0}F(t)=0$。考虑 $t>0$，作变量代换 $x=tu$，则 $dx=t\,du$，积分限 $u$ 从 $0$ 到 $1/t$，得 $F(t)=\int_0^{1/t}\frac{1}{1+u^2}f(tu)\,du$。对任意 $A>0$，将积分拆为 $[0,A]$ 和 $[A,1/t]$ 两部分。第一部分当 $t\to0^+$ 时由控制收敛定理趋于 $f(0)\int_0^A\frac{du}{1+u^2}=f(0)\arctan A$；第二部分绝对值不超过 $M\int_A^\infty\frac{du}{1+u^2}=M(\frac{\pi}{2}-\arctan A)$，其中 $M=\max_{[0,1]}|f|$。令 $t\to0^+$，再令 $A\to\infty$，得 $\lim_{t\to0^+}F(t)=f(0)\cdot\frac{\pi}{2}$。由假设极限为0，故 $f(0)=0$。$t\to0^-$ 同理。
公式：F(t)=\int_0^{1/t}\frac{f(tu)}{1+u^2}\,du,\quad \lim_{t\to0^+}F(t)=f(0)\cdot\frac{\pi}{2}
提示：变量代换后积分区间趋于无穷，需拆分并用控制收敛定理；注意 $t$ 为负时类似处理。
步骤 3/4
目标：证明充分性：若 $f(0)=0$，则 $F(t)$ 在 $t=0$ 连续
已知 $f(0)=0$ 且 $f$ 连续，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0\le x\le\delta$ 时 $|f(x)|<\varepsilon$。将 $|F(t)|$ 拆分为 $[0,\delta]$ 和 $[\delta,1]$ 两部分估计：第一部分 $\le\int_0^\delta\frac{|t|}{x^2+t^2}\cdot\varepsilon\,dx=\varepsilon\arctan(\delta/|t|)\le\frac{\pi}{2}\varepsilon$；第二部分，因 $x\ge\delta$，有 $\frac{|t|}{x^2+t^2}\le\frac{|t|}{\delta^2}$，故第二部分 $\le\frac{|t|}{\delta^2}\cdot M\cdot(1-\delta)$，其中 $M=\max_{[0,1]}|f|$。取 $|t|$ 足够小使第二部分 $<\varepsilon$，则 $|F(t)|<(\frac{\pi}{2}+1)\varepsilon$，即 $\lim_{t\to0}F(t)=0=F(0)$，连续性得证。
公式：|F(t)|\le\frac{\pi}{2}\varepsilon+\frac{|t|}{\delta^2}M(1-\delta)
提示：利用 $f(0)=0$ 控制小区间，大区间用 $|t|$ 小控制；注意 $\arctan(\delta/|t|)\le\pi/2$。
步骤 4/4
目标：总结结论
综合必要性（若连续则 $f(0)=0$）和充分性（若 $f(0)=0$ 则连续），得 $F(t)$ 在 $t=0$ 处连续的充要条件是 $f(0)=0$。
提示：注意 $F(0)=0$ 是隐含条件，连续性即极限等于0。
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