西南交通大学 2024年数学分析第11题

设 $\Omega$ 是单连通区域，$L$ 为其光滑边界闭曲线。原点 $O$ 为定点，可在 $\Omega$ 内部或外部。$\mathbf{r}$ 是从原点指向 $L$ 上点的位置向量，模长 $r=|\mathbf{r}|$。$\mathbf{n}$ 是 $L$ 上该点的单位切向量。$\cos(\mathbf{n},\mathbf{r})$ 表示切向量与位置向量夹角的余弦。积分 $\oint_L \frac{\cos(\mathbf{n},\mathbf{r})}{|\mathbf{r}|} \mathrm{d}s$ 是沿闭曲线 $L$ 对弧长的曲线积分。

由向量点积公式：$\cos(\mathbf{n},\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{|\mathbf{n}|\,|\mathbf{r}|}$。由于 $|\mathbf{n}|=1$，代入得 $\frac{\cos(\mathbf{n},\mathbf{r})}{|\mathbf{r}|} = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{r^2}$。因此原积分化为 $I = \oint_L \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{r^2} \, ds$。

对于参数化曲线，单位切向量 $\mathbf{n}$ 乘以弧长微元 $ds$ 等于切向微元 $d\mathbf{l}$，即 $\mathbf{n} \, ds = d\mathbf{l}$，方向与曲线走向一致。于是积分变为 $I = \oint_L \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{l}$。

定义向量场 $\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{r}}{r^2}$，该场在原点外光滑。所求积分即为 $\mathbf{F}$ 沿闭曲线 $L$ 的环量：$I = \oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l}$。

在二维平面中，由格林定理：$\oint_L (P\,dx+Q\,dy) = \iint_\Omega \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy$。这里 $\mathbf{F} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$。计算旋度：$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right) = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right) = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$。两者相等，故在除原点外的区域旋度为零。

情况1：原点在区域外部。此时 $\Omega$ 内场处处光滑且旋度为零，由格林定理得 $I=0$。 情况2：原点在区域内部。此时原点是被包围的奇点，但注意到 $\mathbf{F} = \nabla (\ln r)$，即 $\mathbf{F}$ 是梯度场，其势函数 $\ln r$ 在除原点外单值连续。沿闭曲线 $L$ 积分时，起点与终点相同，势函数增量 $\Delta \ln r = 0$，故 $I=0$。也可通过挖洞法：取小圆 $C_\varepsilon$ 包围原点，在剩余区域格林定理给出 $\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} - \oint_{C_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = 0$，而在小圆上参数化计算得 $\oint_{C_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=0$，因此 $I=0$。

无论原点在区域内部还是外部，该曲线积分值均为0。