西南交通大学 2024年数学分析第12题
📝 题目
12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ，使得对任意的 $\displaystyle \delta>0$ ，满足 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \cap[a, b]$上无界。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由无界性构造点列
因为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上无界，根据无界的定义，对于任意自然数 $n$，总存在点 $x_n \in [a, b]$，使得 $|f(x_n)| > n$。这样我们就得到了一个点列 $\{x_n\} \subset [a, b]$，并且对应的函数值 $|f(x_n)| \to +\infty$。
公式：$\forall n \in \mathbb{N}, \exists x_n \in [a, b], \text{ s.t. } |f(x_n)| > n$
提示：注意无界的定义是对于任意大的正数，都能找到点使得函数绝对值大于该数，这里取正数 $n$ 即可。
步骤 2/4
目标：利用Bolzano-Weierstrass定理得到收敛子列
由于点列 $\{x_n\}$ 全部位于有界闭区间 $[a, b]$ 内，因此它是有界点列。根据Bolzano-Weierstrass定理（致密性定理），有界点列必有收敛子列。设这个收敛子列为 $\{x_{n_k}\}$，其极限为 $x_0$，即 $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0$，并且由闭区间性质可知 $x_0 \in [a, b]$。
公式：$\{x_{n_k}\} \to x_0 \in [a, b]$
提示：Bolzano-Weierstrass定理是实数理论中非常重要的定理，它保证了有界点列必有收敛子列。
步骤 3/4
目标：证明极限点 $x_0$ 的任意邻域内函数无界
对任意给定的 $\delta > 0$，因为 $x_{n_k} \to x_0$，所以存在正整数 $K$，使得当 $k > K$ 时，有 $|x_{n_k} - x_0| < \delta$。这意味着所有下标大于 $K$ 的子列点都落在区间 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 内。又因为 $|f(x_{n_k})| \to +\infty$，所以对于任意大的正数 $M$，总存在某个 $k$ 使得 $|f(x_{n_k})| > M$。因此，在 $(x_0-\delta, x_0+\delta) \cap [a, b]$ 上，函数值可以任意大，即函数在该交集上无界。
公式：$\forall \delta>0, \exists \{x_{n_k}\} \subset (x_0-\delta, x_0+\delta), \text{ s.t. } |f(x_{n_k})| \to +\infty$
提示：这里的关键是将点列的收敛性与无界性结合起来：邻域内包含了子列的几乎所有项，而这些项的函数值趋于无穷。
步骤 4/4
目标：排除极限点为端点的情况，确保 $x_0 \in (a, b)$
如果上述极限点 $x_0$ 恰好是端点 $a$ 或 $b$，我们需要证明仍然存在内点满足条件。采用反证法：假设所有满足“任意邻域内无界”的点都是端点，即对于任意 $c \in (a, b)$，都存在一个邻域 $U_c$ 使得 $f$ 在 $U_c \cap [a,b]$ 上有界。这些开区间 $\{U_c\}_{c \in (a,b)}$ 连同端点附近的邻域构成 $[a,b]$ 的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在有限个这样的邻域覆盖整个 $[a,b]$，从而 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，这与已知条件矛盾。因此，必然存在一个内点 $x_0 \in (a,b)$ 满足要求。
公式：反证法：若所有聚点均为端点 $\Rightarrow$ 有限覆盖推出 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界 $\Rightarrow$ 矛盾
提示：这一步是证明的难点，需要用到有限覆盖定理（Heine-Borel定理）来导出矛盾。注意，这里假设了每个内点都有一个有界邻域，从而构造开覆盖。
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