西南财经大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．求下列级数的和 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：对通项进行因式分解与部分分式拆分
将分母因式分解：$n^2-1 = (n-1)(n+1)$。设 $\frac{1}{(n-1)(n+1)} = \frac{A}{n-1} + \frac{B}{n+1}$，两边乘以 $(n-1)(n+1)$ 得 $1 = A(n+1) + B(n-1)$。整理得 $1 = (A+B)n + (A-B)$，比较系数得 $A+B=0,\; A-B=1$，解得 $A=\frac12,\; B=-\frac12$。因此 $\frac{1}{n^2-1} = \frac12\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right)$。原级数通项化为 $\frac{1}{2^n(n^2-1)} = \frac12 \cdot \frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right)$。
公式：\frac{1}{n^2-1} = \frac12\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right)
提示：注意部分分式拆分时不要遗漏系数，且分母因式分解要正确。
步骤 2/4
目标：将级数拆分为两个级数之差，并做变量代换
原级数 $S = \frac12 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right)$。分别处理：
对于 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n (n-1)}$，令 $k=n-1$，则 $n=k+1$，当 $n=2$ 时 $k=1$，得 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k+1} k} = \frac12 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k}$。
对于 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n (n+1)}$，令 $m=n+1$，则 $n=m-1$，当 $n=2$ 时 $m=3$，得 $\sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{2^{m-1} m} = 2 \sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{m 2^m}$。
因此 $S = \frac12 \left[ \frac12 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k} - 2 \sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{m 2^m} \right] = \frac14 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k} - \sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{m 2^m}$。
公式：S = \frac14 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k} - \sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{m 2^m}
提示：变量代换时注意积分限的对应变化，避免下标错误。
步骤 3/4
目标：利用已知级数公式计算两个和式
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$，$|x|<1$。取 $x=\frac12$ 得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^n} = -\ln\left(1-\frac12\right) = -\ln\frac12 = \ln 2$。
于是 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k} = \ln 2$。
而 $\sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{m 2^m} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m 2^m} - \frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{2\cdot 4} = \ln 2 - \frac12 - \frac18 = \ln 2 - \frac58$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x),\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^n} = \ln 2
提示：注意级数从n=1开始，减去前两项时要仔细计算分数。
步骤 4/4
目标：代入计算并化简得到最终结果
将上述结果代入 $S$ 的表达式：$S = \frac14 (\ln 2) - \left( \ln 2 - \frac58 \right) = \frac14 \ln 2 - \ln 2 + \frac58 = -\frac34 \ln 2 + \frac58$。因此级数的和为 $\frac{5}{8} - \frac{3}{4}\ln 2$。
公式：S = \frac{5}{8} - \frac{3}{4}\ln 2
提示：合并同类项时注意符号，最终结果通常写成 $\frac{5}{8} - \frac{3}{4}\ln 2$ 的形式。
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