西南财经大学 2024年数学分析第8题

反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的积分区间为 $[0, +\infty)$，被积函数在 $x=0$ 处可能无界（当 $p-1<0$ 时），在 $x\to +\infty$ 时也可能不趋于0，因此需要分别在 $0$ 附近和 $+\infty$ 处判断收敛性。通常将积分拆分为 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 和 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 两部分分别讨论。

当 $x \to 0^{+}$ 时，分母 $1+x \to 1$，因此被积函数等价于 $x^{p-1}$。即 $\displaystyle \frac{x^{p-1}}{1+x} \sim x^{p-1}$。积分 $\displaystyle \int_{0}^{\delta} x^{p-1} \mathrm{~d} x$（$\delta>0$ 很小）收敛当且仅当 $p-1 > -1$，即 $p > 0$。因此，$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 收敛的条件是 $p > 0$。

当 $x \to +\infty$ 时，分母 $1+x \sim x$，因此被积函数等价于 $\displaystyle \frac{x^{p-1}}{x} = x^{p-2}$。积分 $\displaystyle \int^{+\infty} x^{p-2} \mathrm{~d} x$ 收敛当且仅当 $p-2 < -1$，即 $p < 1$。因此，$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 收敛的条件是 $p < 1$。

原反常积分收敛要求两部分同时收敛，即 $p > 0$ 且 $p < 1$，因此收敛区间为 $0 < p < 1$。当 $p \leq 0$ 时，$0$ 附近发散；当 $p \geq 1$ 时，无穷远处发散。

当 $p=0$ 时，被积函数为 $\displaystyle \frac{x^{-1}}{1+x}$，在 $x=0$ 附近等价于 $1/x$，积分发散。当 $p=1$ 时，被积函数为 $\displaystyle \frac{1}{1+x}$，在 $+\infty$ 处等价于 $1/x$，积分发散。因此边界点不包含在收敛区间内。