📝 上海理工大学 2025年高等代数真题

1．设 $\displaystyle f(x) 、 g(x)$ 为两个多项式，已知 $\displaystyle x^{2}+x+1 \mid f\left(x^{3}\right)+x g\left(x^{3}\right)$ ，求 $\displaystyle f(1)$

2．计算 $n$ 阶行列式：

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
x & y & y & \cdots & y \\
z & x & y & \cdots & y \\
z & z & x & \cdots & y \\
. & . & . & . & .
\end{array}\right|
$$

3．已知三阶矩阵 $A$ 的第 1 行 $\displaystyle (a, b, c)$ 不全为零，矩阵 $\displaystyle B=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right], k$ 为常数，且 $\displaystyle A B=0$ ，求线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的解

4．设 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\displaystyle A=\alpha \alpha^{T}, n$ 为正整数，求行列式 $\displaystyle \left|a E-A^{n}\right|$ 的值

5.
（1）二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ ，当 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 时，求该二次型的最大值。
（2）二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ ，其中： $\displaystyle \bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ ，求此二次型的矩阵和秩

6．假设 $\displaystyle A_{m \times n}$ 为行满秩实矩阵，$\displaystyle m<n$ ，令 $\displaystyle B=A^{T} A$ 。
（1）证明：使得 $\displaystyle x^{T} B x=0$ 的所有 $x$ 构成 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个线性子空间 $W$ ；
（2）求 $W$ 的维数

7．已知 $\displaystyle R^{n \times n}$ 是全体 $n$ 阶矩阵组成的线性空间，$\displaystyle f_{A}$ 是 $\displaystyle R^{n \times n}$ 上的线性变换，定义为 $\displaystyle f_{A}=A X+X A$ ， $\displaystyle X \in R^{n \times n}$ ，其中 $A$ 为实对称矩阵
（1）求 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 的维数和一组基
（2）证明：$\displaystyle f_{A}$ 为 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 上的线性变换
（3）问：取什么基时 $\displaystyle f_{A}$ 的矩阵可以化为对角形？请求出这组基和对角形形式

8．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2011 & 11 \\ 0 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．证明： $\displaystyle \mathrm{X}^{2}=A$ 无解，这里 $X$ 为三阶未知复方阵

9．已知 $A$ 是正定矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}, \beta$ 是 $n$ 维欧式空间中的 $\displaystyle n+1$ 个向量，满足：
（1）$\displaystyle \alpha_{i} \neq 0 \quad i=1,2, \cdots, n$
（2）$\displaystyle \alpha_{i}^{T} A \alpha_{j}=0$ 对于所有 $\displaystyle i \neq j$
（3）$\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle \alpha_{i}$ 正交 $\displaystyle \quad i=1,2, \cdots, n$
求 $\displaystyle \beta$