📝 同济大学 2026年数学分析真题
第1题
1．（10分）判断极限
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x+y^{2}\right)+\tan \left(x^{2}+y\right)-x-y}{\arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right)}
$$
是否存在，若存在求出极限，若不存在，说明理由．
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x+y^{2}\right)+\tan \left(x^{2}+y\right)-x-y}{\arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right)}
$$
是否存在，若存在求出极限，若不存在，说明理由．
第2题
2．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上可导的函数，证明：若 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M|f(x)|(M>0)$ ，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 恒为常数．
第3题
3．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C^{2}[a, b]$ ，证明梯形求积公式误差满足
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]=-\frac{(b-a)^{3}}{12} f^{\prime \prime}(\xi) .
$$
其中 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ．
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]=-\frac{(b-a)^{3}}{12} f^{\prime \prime}(\xi) .
$$
其中 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ．
第4题
4．（20 分）设 $\displaystyle T(r)$ 是定义在 $\displaystyle \left[r_{0},+\infty\right)\left(r_{0}>0\right)$ 上的一个单调递增函数，且 $\displaystyle T\left(r_{0}\right) \geq 1$ ．证明：
（1）若 $\displaystyle T(r) \in C^{0}\left[r_{0},+\infty\right)$ ，则存在 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\} \subset\left[r_{0},+\infty\right)$ 满足 $\displaystyle r_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得
$$
T\left(r_{n}+\frac{1}{T\left(r_{n}\right)}\right)<2 T\left(r_{n}\right) .
$$
（2）若 $\displaystyle T(r) \in C^{1}\left[r_{0},+\infty\right)$ ，则存在 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\} \subset\left[r_{0},+\infty\right)$ ，满足 $\displaystyle r_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得
$$
T^{\prime}\left(r_{n}\right)<T^{1+\varepsilon}\left(r_{n}\right), \varepsilon>0 .
$$
（1）若 $\displaystyle T(r) \in C^{0}\left[r_{0},+\infty\right)$ ，则存在 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\} \subset\left[r_{0},+\infty\right)$ 满足 $\displaystyle r_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得
$$
T\left(r_{n}+\frac{1}{T\left(r_{n}\right)}\right)<2 T\left(r_{n}\right) .
$$
（2）若 $\displaystyle T(r) \in C^{1}\left[r_{0},+\infty\right)$ ，则存在 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\} \subset\left[r_{0},+\infty\right)$ ，满足 $\displaystyle r_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得
$$
T^{\prime}\left(r_{n}\right)<T^{1+\varepsilon}\left(r_{n}\right), \varepsilon>0 .
$$
第5题
5．（15 分）设数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的绝对值 $\displaystyle |\cdot|$ 满足 $\displaystyle |x \times y| \leq \max \{|x|,|y|\}, x, y \in \mathbb{F}$ ，而且 $\displaystyle \mathbb{F}$ 关于 $\displaystyle |\cdot|$ 是完备的．
（1）试给出 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的定义．
（2）确定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫与 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 的关系，并证明你的结论。
（1）试给出 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的定义．
（2）确定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫与 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 的关系，并证明你的结论。
第6题
6．（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{f}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 是 $\displaystyle C^{r}$ 映射（ $\displaystyle r \geq 1$ ），若 $\displaystyle \mathbf{f}$ 的 Jacobi 行列式在 $\displaystyle \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 处不为零，证明：存在点 $\displaystyle \mathbf{x}$ 的开邻域 $U$ 和实数 $\displaystyle \omega>0$ ，使得
$$
\left\|f\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)-f\left(\mathbf{x}^{\prime \prime}\right)\right\| \geq \omega\left\|\mathbf{x}^{\prime}-\mathbf{x}^{\prime \prime}\right\|, \forall \mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{x}^{\prime \prime} \in U .
$$
这里 $\displaystyle \|\cdot\|$ 为向量的 $\displaystyle 2-$ 范数．
$$
\left\|f\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)-f\left(\mathbf{x}^{\prime \prime}\right)\right\| \geq \omega\left\|\mathbf{x}^{\prime}-\mathbf{x}^{\prime \prime}\right\|, \forall \mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{x}^{\prime \prime} \in U .
$$
这里 $\displaystyle \|\cdot\|$ 为向量的 $\displaystyle 2-$ 范数．
第7题
7．（15 分）设开集 $\displaystyle U \subset \mathbb{R}^{3}$ ，函数 $\displaystyle u \in C^{2}(U)$ ，且在 $U$ 中满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ．证明：对任意 $\displaystyle x_{0} \in U$ ，有
$$
u\left(\mathbf{x}_{0}\right)=\frac{1}{\left|\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)\right|} \iint_{\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)} u \mathrm{~d} S
$$
其中 $\displaystyle B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)$ 为包含于 $U$ 中的以 $\displaystyle x_{0}$ 为球心，$r$ 为半径的任意球，$\displaystyle \left|\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)\right|$ 为球面面积．
$$
u\left(\mathbf{x}_{0}\right)=\frac{1}{\left|\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)\right|} \iint_{\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)} u \mathrm{~d} S
$$
其中 $\displaystyle B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)$ 为包含于 $U$ 中的以 $\displaystyle x_{0}$ 为球心，$r$ 为半径的任意球，$\displaystyle \left|\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)\right|$ 为球面面积．
第8题
8．（ 20 分）判断下列反常积分的玫散性，若收玫，计算积分值；若发散，说明理由．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid x \geq 1, y \geq 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iiint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(x+y+z)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y, z) \mid x>0, y>0, z>0, x+y+z<1\}$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid x \geq 1, y \geq 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iiint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(x+y+z)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y, z) \mid x>0, y>0, z>0, x+y+z<1\}$ ．
第9题
9．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x t \cdot \arctan y t}{t^{2}} \mathrm{~d} t(x>0, y>0)$ ，计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ ．
第10题
10．（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}=\left(x-z, x^{3}-y z,-3 x y^{2}\right), S: z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \mathbf{n}$ 为 $S$ 上侧的单位法向量，计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \mathrm{~d} S$ ．