📝 哈尔滨工业大学 2021年数学分析真题
第1题
1．刑断下列命题是否正确，正确请给出证星，错识请给出反例。
（1）设而数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，那么存在 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ 与 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在令域 $\displaystyle B\left(x_{0}, c\right)$ 上有界。
（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 对任意 $\displaystyle p>0$ 都们 $\displaystyle \left|x_{n+p}-x_{n}\right| \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，服么 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 列。
（3）如果 $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{1}(x) \mathrm{d} x=0$ ，开么 $\displaystyle f(x)=0(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 。
（4）如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mu_{1}}{\tan (1 / n)}=0$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收放。
（5）对于二元的数 $\displaystyle f(x, y)$ ，它在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 存在任意方向的方向导数，肌么 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 可欲。
（1）设而数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，那么存在 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ 与 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在令域 $\displaystyle B\left(x_{0}, c\right)$ 上有界。
（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 对任意 $\displaystyle p>0$ 都们 $\displaystyle \left|x_{n+p}-x_{n}\right| \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，服么 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 列。
（3）如果 $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{1}(x) \mathrm{d} x=0$ ，开么 $\displaystyle f(x)=0(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 。
（4）如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mu_{1}}{\tan (1 / n)}=0$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收放。
（5）对于二元的数 $\displaystyle f(x, y)$ ，它在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 存在任意方向的方向导数，肌么 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 可欲。
第2题
2．设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1} a_{1}+\sqrt{2} a_{2}+\cdots+\sqrt{n} a_{n}}{n^{3 / 2}}=\frac{2}{3} a .
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1} a_{1}+\sqrt{2} a_{2}+\cdots+\sqrt{n} a_{n}}{n^{3 / 2}}=\frac{2}{3} a .
$$
第3题
3．设 $\displaystyle f(x)=|\sin x| / x$ ．
（1）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 与 $\displaystyle (0,1)$ 上分别一致進线；
（2）判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上是否一致逢续，并说明理由。
（1）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 与 $\displaystyle (0,1)$ 上分别一致進线；
（2）判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上是否一致逢续，并说明理由。
第4题
4．设无分积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收纹．
（1）若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，是否有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？说明理由；
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连晱，是否有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？说明理由；
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一改连续，是否有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？说明理由。
（1）若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，是否有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？说明理由；
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连晱，是否有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？说明理由；
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一改连续，是否有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？说明理由。
第5题
5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且负训逆增，用三种方法证明：
$$
\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
$$
$$
\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
$$
第6题
6．刑断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{(-1)^{n}} / n^{f}-1\right)$ 的收攽性与绝对收筑性．其中 $\displaystyle p>0$ ．
第7题
7．设醑数列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逢续，且而数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收说，证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(a)$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收敛；
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在闭区问 $\displaystyle [a, b]$ 上一致改敦。
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(a)$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收敛；
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在闭区问 $\displaystyle [a, b]$ 上一致改敦。
第8题
8．设 $D$ 为闭区域 $\displaystyle (\xi-x)^{2}+(\eta-y)^{2} \leqslant r^{2} . L$ 为 $D$ 的正向边㓷。设 $\displaystyle f(\xi, \eta)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的逢续函数。定义
$$
F(x, y)=\iint_{D} f(\xi, \eta) \mathrm{ds} .
$$
证明：
（1）$\displaystyle \partial F / \partial x=\int_{L} f d \eta, \partial F / \partial y=-\int_{L} f d \xi$ ；
（2）$\displaystyle \partial F / \partial x, \partial F / \partial y$ 关于 $\displaystyle x, y$ 途续．
$$
F(x, y)=\iint_{D} f(\xi, \eta) \mathrm{ds} .
$$
证明：
（1）$\displaystyle \partial F / \partial x=\int_{L} f d \eta, \partial F / \partial y=-\int_{L} f d \xi$ ；
（2）$\displaystyle \partial F / \partial x, \partial F / \partial y$ 关于 $\displaystyle x, y$ 途续．
第9题
9．计第
$$
\lim _{t \rightarrow 0+} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} C t^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z
$$
$$
\lim _{t \rightarrow 0+} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} C t^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z
$$
第10题
10．在不同的 $S$ 下计算．
$$
\iint_{S} \frac{x d y d z+y d z d x+z d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} .
$$
（1）$S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}(c>0)$ ；
（2）$S$ 为任意不包含原点的闭曲面；
（3）$S$ 为任㴔包含原点的闭曲面．
$$
\iint_{S} \frac{x d y d z+y d z d x+z d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} .
$$
（1）$S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}(c>0)$ ；
（2）$S$ 为任意不包含原点的闭曲面；
（3）$S$ 为任㴔包含原点的闭曲面．