📝 河南大学 2026年高等代数真题

1．设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+6 x^{2}+3 p x+8$ ，若 $\displaystyle f(x)$ 有重根，求 $p$ 的值．

2．计算行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2^{n}-2 & 2^{n-1}-2 & \cdots & 2 \\ 3^{n}-3 & 3^{n-1}-3 & \cdots & 6 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n^{n}-n & n^{n-1}-n & \cdots & n^{2}-n\end{array}\right|$ ．

3．设 $\displaystyle \alpha_{1}=(a, 2,0)^{T}, \alpha_{2}=(-2,1,5)^{T}, \alpha_{3}=(-1,1,4)^{T}, \beta=(1, b, c)^{T}$ ，对 $\displaystyle a, b, c$ 进行讨论完成下列问题：
（1）$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出且表示唯一；
（2）$\displaystyle \beta$ 不可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出；
（3）$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出但表示不唯一并求其表达式．

4．若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 可由正交变换 $\displaystyle X=T Y$化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}$ ，求 $\displaystyle a, b$ 及所用的正交变换．

5．设

$$
\left.\begin{array}{l}
S_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} \\
S_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \left\lvert\,\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right\}\right.\right.
\end{array}\right\}{ }{ } \left\lvert\, \begin{aligned}
& \\
&
\end{aligned}\right.
$$

求 $\displaystyle S_{1}+S_{2}$ 和 $\displaystyle S_{1} \cap S_{2}$ 的一组基和维数．

6．设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵组成的线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的变换，且

$$
\varphi(x)=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array}\right) x, x \in V
$$

完成下列问题：
（1）证明 $\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（3）求 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi$ 的一组基和维数；
（4）求 $\displaystyle \operatorname{ker} \varphi$ 的一组基和维数．

7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{ker} \phi$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi^{2}$.

8．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle f_{\varphi}(x)=(x+1)^{3}(x-2)^{2}(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式，$\displaystyle m_{\varphi}(x)=(x+1)^{2}(x-2)(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式．
（1）求 $\displaystyle \varphi$ 的不变因子；
（2）求 $\displaystyle \varphi$ 的 Jordan 标准型．

9．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right)$ 完成下列问题：
（1）求正交矩阵 $Q$ 和主对角线上都大于 0 的上三角矩阵 $T$ 使得 $\displaystyle A=Q T$ ；
（2）求正交矩阵 $P$ 和正定矩阵 $R$ 使得 $\displaystyle A=P R$ ；
（3）求正交矩阵 $\displaystyle U, V$ 使得 $\displaystyle U A V$ 为对角矩阵．