📝 湘潭大学 2026年数学分析真题

1．（ 30 分）计算题．
（1）（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\cos x-\frac{x^{2}}{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
（2）（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]$ ．
（3）（10 分）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．

2．（20分）计算题．
（1）（10 分）设 $\displaystyle y=\sqrt[3]{x-\tan x}$ ，求 $\displaystyle \mathrm{d} y$ 及 $\displaystyle \mathrm{d}^{2} y$ ．
（2）（10 分）设 $\displaystyle F(y)=\int_{a}^{b} f(x)|y-x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 可微，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(y)$ ．

3．（15 分）计算重积分 $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V=\left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right.\right\}$ ．

4．（15 分）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma: x^{2}+2 y^{2}+3^{2}=1$ ，取外侧．

5．（20 分）讨论广义积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} x^{p-1} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的一致收敛性：
（1）（ 10 分）$\displaystyle p \geq p_{0}>0$ ．
（2）（ 10 分）$\displaystyle p>0$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（1）（10 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）（10 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一定有最大值和最小值．

7．（20 分）设 $\displaystyle S_{n}(x)=n^{\alpha} x e^{-n x}$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 是参数，求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围，使得函数列 $\displaystyle \left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上：
（1）（ 6 分）一致收敛。
（2）（6 分）积分运算与极限运算可以交换，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} S_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）（8 分）求导运算与极限运算可以交换，即对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，成立 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x} S_{n}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)$ ．

8．（10 分）求 $\displaystyle \cos x$ 的全部零点的倒数平方之和．