📝 福州大学 2025年数学分析真题

1、（ 30 分）求极限
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^{2}}+\sqrt{1+x-2 x^{2}}-2 \sqrt{1+x}}{e^{\cos x-1}-1}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin [(2 n+1) x]}{n^{2}}$ ．

2、（20分）叙述并证明数列的柯西收敛原理．

3、（20 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，其中 $a$ 为大于等于零的常数且极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-2 \sqrt{x}]$ 存在，那么 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否一致连续？如果是，请给出证明，如果不一定，请给出一正一反的例子．

4、（20 分）判别函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{\sqrt[4]{n}}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ 上的玫散性，若收敛指出是绝对收敛，还是条件收敛。

5、（20 分）证明： $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{2 \pi}$ ，并用该结果计算 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
注：求 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}+x} \mathrm{~d} x$ 这题可能有问题，可能是求 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

6、（20 分）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{2 x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(2+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ ，方向取下侧．

7、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，定义 $\displaystyle \alpha$ —阶积分算子（ $\displaystyle \alpha>0$ ）： $\displaystyle I^{\alpha} f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{x}(x-s)^{\alpha-1} f(s) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle \Gamma(\alpha)$ 为伽马函数。
利用积分换序原理证明：当 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}>\mathbf{0}$ 时，有

$$
I^{\alpha}\left(I^{\beta} f(x)\right)=I^{\alpha+\beta} f(x)=I^{\beta}\left(I^{\alpha} f(x)\right) .
$$