📝 苏州大学 2026年高等代数真题
第1题
1．（20分）设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，且满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，定义子空间
$$
W_{1}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=X\right\} .
$$
证明： $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
$$
W_{1}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=X\right\} .
$$
证明： $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
第2题
2．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示内积。设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$由基向量组线性表示为
$$
\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C .
$$
其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明：
$$
\operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) .
$$
$$
\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C .
$$
其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明：
$$
\operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) .
$$
第3题
3．（25 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ ，其中 $p$ 为奇素数．
（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是不可约多项式．
（2）证明：存在矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle f(A)=O$ 的充要条件是 $\displaystyle p \mid n$ ．
（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是不可约多项式．
（2）证明：存在矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle f(A)=O$ 的充要条件是 $\displaystyle p \mid n$ ．
第4题
4．（ 20 分）解答如下问题：
（1）证明：实反对称矩阵的特征值只能是 0 或纯虚数．
（2）设 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}O & E_{k} \\ -E_{k} & O\end{array}\right)$ ，子空间 $\displaystyle W=\left\{A \in \mathbb{R}^{2 k \times 2 k} \mid A S+S A^{\mathrm{T}}=O\right\}$ ，求 $W$ 的维数及一组基．
（1）证明：实反对称矩阵的特征值只能是 0 或纯虚数．
（2）设 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}O & E_{k} \\ -E_{k} & O\end{array}\right)$ ，子空间 $\displaystyle W=\left\{A \in \mathbb{R}^{2 k \times 2 k} \mid A S+S A^{\mathrm{T}}=O\right\}$ ，求 $W$ 的维数及一组基．
第5题
5．（20分）设线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 下的矩阵为
$$
J_{n}(\mu)=\left(\begin{array}{cccc}
\mu & & & \\
1 & \mu & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & 1 & \mu
\end{array}\right)
$$
（1）证明：对于任意非零的 $\displaystyle \sigma$－不变子空间 $W$ ，必有 $\displaystyle e_{n} \in W$ ．
（2）求所有的 $\displaystyle \sigma$－子空间．
$$
J_{n}(\mu)=\left(\begin{array}{cccc}
\mu & & & \\
1 & \mu & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & 1 & \mu
\end{array}\right)
$$
（1）证明：对于任意非零的 $\displaystyle \sigma$－不变子空间 $W$ ，必有 $\displaystyle e_{n} \in W$ ．
（2）求所有的 $\displaystyle \sigma$－子空间．
第6题
6．（20 分）解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E_{n}$ ，证明：一定存在可逆矩阵 $C$ ，使得
$$
C^{-1} A C=\left(\begin{array}{cc}
E_{s} & O \\
O & -E_{n-s}
\end{array}\right)
$$
（2）$n$ 为奇数，如果存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，使得对于任意实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，均有
$$
\left(x_{1} A_{1}+x_{2} A_{2}+\cdots+x_{k} A_{k}\right)^{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}\right) E_{n}
$$
成立，证明：$\displaystyle k=1$ ．
（1）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E_{n}$ ，证明：一定存在可逆矩阵 $C$ ，使得
$$
C^{-1} A C=\left(\begin{array}{cc}
E_{s} & O \\
O & -E_{n-s}
\end{array}\right)
$$
（2）$n$ 为奇数，如果存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，使得对于任意实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，均有
$$
\left(x_{1} A_{1}+x_{2} A_{2}+\cdots+x_{k} A_{k}\right)^{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}\right) E_{n}
$$
成立，证明：$\displaystyle k=1$ ．
第7题
7．（ 25 分）解答如下问题：
（1）设 $M$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{M}$ 是 $M$ 的最大特征值，证明：对于任意非零向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，有
$$
\alpha^{\mathrm{T}} M \alpha \leq \lambda_{M} \alpha^{\mathrm{T}} \alpha
$$
（2）若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & D\end{array}\right)$ 半正定，其中 $\displaystyle A, D$ 为方阵，记 $\displaystyle \lambda_{M}, \lambda_{A}, \lambda_{D}$ 分别为矩阵 $\displaystyle M, A, D$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{M} \leq \lambda_{A}+\lambda_{D}$ ．
（1）设 $M$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{M}$ 是 $M$ 的最大特征值，证明：对于任意非零向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，有
$$
\alpha^{\mathrm{T}} M \alpha \leq \lambda_{M} \alpha^{\mathrm{T}} \alpha
$$
（2）若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & D\end{array}\right)$ 半正定，其中 $\displaystyle A, D$ 为方阵，记 $\displaystyle \lambda_{M}, \lambda_{A}, \lambda_{D}$ 分别为矩阵 $\displaystyle M, A, D$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{M} \leq \lambda_{A}+\lambda_{D}$ ．