📝 首都师范大学 2026年高等代数真题
第1题
1．设 $n$ 为大于 1 的正整数，计算下列 $n$ 级行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1+x_{1} & x_{1} & \cdots & x_{1} \\
x_{2} & 2+x_{2} & \cdots & x_{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{n} & x_{n} & \cdots & n+x_{n}
\end{array}\right| .
$$
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1+x_{1} & x_{1} & \cdots & x_{1} \\
x_{2} & 2+x_{2} & \cdots & x_{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{n} & x_{n} & \cdots & n+x_{n}
\end{array}\right| .
$$
第2题
2．设 $\displaystyle A, B, C$ 及 $D$ 均为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵且 $D$ 可逆，令
$$
M=\left(\begin{array}{cc}
O & A D \\
C & B
\end{array}\right)
$$
用 $\displaystyle r(A)$ 表示矩阵 $A$ 之秩，证明：$\displaystyle r(M) \geq r(A)+r(C)$ ．
$$
M=\left(\begin{array}{cc}
O & A D \\
C & B
\end{array}\right)
$$
用 $\displaystyle r(A)$ 表示矩阵 $A$ 之秩，证明：$\displaystyle r(M) \geq r(A)+r(C)$ ．
第3题
3．取实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 3 级矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
-1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right)
$$
（1）求正交矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C$ 为对角矩阵，其中 $\displaystyle C^{\prime}$ 表示 $C$ 的转置．
（2）求正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ．
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
-1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right)
$$
（1）求正交矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C$ 为对角矩阵，其中 $\displaystyle C^{\prime}$ 表示 $C$ 的转置．
（2）求正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ．
第4题
4．设 $A$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵，$\displaystyle \beta$ 是 $n$ 维非零向量，假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一组基础解系，$\displaystyle \alpha$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的一个解。证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \alpha$ 是线性无关的．
第5题
5．设 $A$ 是 $n$ 级半正定矩阵，$D$ 是 $n$ 级实矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵．
（1）证明：若 $A$ 正定，则 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 半正定．
（2）当 $A$ 非正定时，请问 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 是半正定吗？说明理由．
（1）证明：若 $A$ 正定，则 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 半正定．
（2）当 $A$ 非正定时，请问 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 是半正定吗？说明理由．
第6题
6．设 $\displaystyle f(x), P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，且 $\displaystyle P(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的不可约多项式，设 $\displaystyle P(x)$ 有一个复数根 $\displaystyle \alpha$ ，如果 $\displaystyle \alpha$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的复根，证明：在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中，$\displaystyle P(x) \mid f(x)$ ．
第7题
7．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵可以对角化，证明：对 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的任意不变子空间 $\displaystyle W, \mathscr{A}$ 限制在 $W$ 上的变换 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 的矩阵也可以对角化。
第8题
8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块
$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$
（1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由．
（2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．
$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$
（1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由．
（2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．
第9题
9．设 $\displaystyle V, W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的两个线性空间，其维数分别为 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n, \operatorname{dim} W=m, \sigma$ 是 $V$ 到 $W$ 的一个满射，且满足线性性，即
$$
\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \sigma(k \alpha)=k \sigma(\alpha), \forall \alpha, \beta \in V, k \in \mathbb{P} .
$$
记 $\displaystyle U=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ ，证明：$U$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=n-m$ ．
$$
\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \sigma(k \alpha)=k \sigma(\alpha), \forall \alpha, \beta \in V, k \in \mathbb{P} .
$$
记 $\displaystyle U=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ ，证明：$U$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=n-m$ ．
第10题
10．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一个 $n$ 维线性空间，在 $V$ 上定义一个二元实值函数，记为 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ ，且满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma \in V, k \in \mathbb{R}$ ，有
（i）$\displaystyle [k \alpha, \beta]=k[\alpha, \beta]$ ．
（ii）$\displaystyle [\alpha+\beta, \gamma]=[\alpha, \gamma]+[\beta, \gamma]$ ．
（iii）$\displaystyle [\alpha, \beta]=-[\beta, \alpha]$ ．
（iv）如果 $\displaystyle [\alpha, \beta]=0$ 对任意的 $\displaystyle \beta \in V$ 成立，则有 $\displaystyle \alpha=0$ ．
此时我们称 $V$ 关于该二元函数构成一个实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $S$ 空间。证明：对于一个 $n$ 为 $S$ 空间 $V$ ，以下结论成立：
（1）$\displaystyle n \neq 1$ ．
（2）对于 $V$ 中的任意非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \beta \in V$ ，使得 $\displaystyle [\alpha, \beta]=1$ ．
（3）设 $K$ 为 $V$ 中的由（2）中的 $\displaystyle \alpha, \beta$ 生成的子空间，记
$$
K^{\perp}=\{\gamma \in V \mid[\gamma, \delta]=0, \forall \delta \in K\} .
$$
证明：$\displaystyle K^{\perp}$ 也是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=K \oplus K^{\perp}$ ．
（4）证明：$n$ 为偶数（记 $\displaystyle n=2 k$ ），且存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{k}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-k}$ ，使得
$$
\left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{-i}\right]=1, \forall 1 \leq i \leq k ;\left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right]=0, \forall i, j \in\{ \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm k\} \text {, 并且 } i+j \neq 0 \text {. }
$$
（i）$\displaystyle [k \alpha, \beta]=k[\alpha, \beta]$ ．
（ii）$\displaystyle [\alpha+\beta, \gamma]=[\alpha, \gamma]+[\beta, \gamma]$ ．
（iii）$\displaystyle [\alpha, \beta]=-[\beta, \alpha]$ ．
（iv）如果 $\displaystyle [\alpha, \beta]=0$ 对任意的 $\displaystyle \beta \in V$ 成立，则有 $\displaystyle \alpha=0$ ．
此时我们称 $V$ 关于该二元函数构成一个实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $S$ 空间。证明：对于一个 $n$ 为 $S$ 空间 $V$ ，以下结论成立：
（1）$\displaystyle n \neq 1$ ．
（2）对于 $V$ 中的任意非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \beta \in V$ ，使得 $\displaystyle [\alpha, \beta]=1$ ．
（3）设 $K$ 为 $V$ 中的由（2）中的 $\displaystyle \alpha, \beta$ 生成的子空间，记
$$
K^{\perp}=\{\gamma \in V \mid[\gamma, \delta]=0, \forall \delta \in K\} .
$$
证明：$\displaystyle K^{\perp}$ 也是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=K \oplus K^{\perp}$ ．
（4）证明：$n$ 为偶数（记 $\displaystyle n=2 k$ ），且存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{k}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-k}$ ，使得
$$
\left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{-i}\right]=1, \forall 1 \leq i \leq k ;\left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right]=0, \forall i, j \in\{ \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm k\} \text {, 并且 } i+j \neq 0 \text {. }
$$