人邮高数 第2章 第2-7-5题
📝 题目
5．欲做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为 $72 \mathrm{~cm}^{3}$ ，其底边成 $1: 2$ 关系，问：各边的长为多少时，才能使表面积最小？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设底面长方形的短边为 $x$ cm，则长边为 $2x$ cm。设箱子的高为 $h$ cm。 由体积条件：
$$ V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2 h = 72 $$
可得：
$$ h = \frac{72}{2x^2} = \frac{36}{x^2} $$
箱子的表面积包括顶、底和四个侧面，总表面积 $S$ 为：
$$ S = 2(\text{底面积}) + 2(\text{侧面1}) + 2(\text{侧面2}) $$
即：
$$ S = 2(2x \cdot x) + 2(2x \cdot h) + 2(x \cdot h) $$
化简：
$$ S = 4x^2 + 4xh + 2xh = 4x^2 + 6xh $$
代入 $h = \displaystyle{\frac{36}{x^2}}$：
$$ S(x) = 4x^2 + 6x \cdot \frac{36}{x^2} = 4x^2 + \frac{216}{x} $$
定义域 $x > 0$。 求导数：
$$ S'(x) = 8x - \frac{216}{x^2} $$
令 $S'(x) = 0$：
$$ 8x = \frac{216}{x^2} \quad\Rightarrow\quad 8x^3 = 216 \quad\Rightarrow\quad x^3 = 27 $$
解得：
$$ x = 3 $$
此时：
$$ 2x = 6, \quad h = \frac{36}{9} = 4 $$
检查二阶导数：
$$ S''(x) = 8 + \frac{432}{x^3} > 0 \quad (\text{当 } x>0) $$
故 $x=3$ 时取最小值。 因此，当底面短边为 $3$ cm，长边为 $6$ cm，高为 $4$ cm 时，表面积最小。
难度：★★☆☆☆