人邮高数 第3章 第3-5-13题

[AI解答]

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**题目**：设 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内连续，且 $ f(x) > 0 $。证明函数 $$ F(x) = \frac{\displaystyle\int_{0}^{x} t f(t) \, \mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t} $$ 在 $ (0, +\infty) $ 内为单调增加函数。

**证明**：

首先，由于 $ f(x) > 0 $ 且连续，对于 $ x > 0 $，有 $$ \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t > 0, $$ 因此 $ F(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上有定义。

为证单调增加，考虑导数 $ F'(x) $。记 $$ A(x) = \int_{0}^{x} t f(t) \, \mathrm{d}t, \quad B(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t, $$ 则 $$ F(x) = \frac{A(x)}{B(x)}. $$

由微积分基本定理， $$ A'(x) = x f(x), \quad B'(x) = f(x). $$

于是 $$ F'(x) = \frac{A'(x) B(x) - A(x) B'(x)}{[B(x)]^2} = \frac{x f(x) \cdot B(x) - A(x) \cdot f(x)}{[B(x)]^2} = \frac{f(x) \bigl[ x B(x) - A(x) \bigr]}{[B(x)]^2}. $$

由于 $ f(x) > 0 $，分母 $ [B(x)]^2 > 0 $，因此只需证明 $$ x B(x) - A(x) > 0, \quad \forall x > 0. $$

而 $$ x B(x) - A(x) = x \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t - \int_{0}^{x} t f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{0}^{x} (x - t) f(t) \, \mathrm{d}t. $$

对于 $ t \in [0, x] $，有 $ x - t \ge 0 $，且 $ f(t) > 0 $，因此被积函数 $ (x - t) f(t) \ge 0 $，且在 $ t \in [0, x) $ 上严格大于 0 的点集测度非零（例如 $ t=0 $ 附近），所以积分 $$ \int_{0}^{x} (x - t) f(t) \, \mathrm{d}t > 0. $$

因此 $ x B(x) - A(x) > 0 $，从而 $ F'(x) > 0 $ 对所有 $ x > 0 $ 成立。

由导数的正性可知，$ F(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上严格单调增加。

**难度评级**：★★☆☆☆