人邮高数 第4章 第4-4-4题

[AI解答]

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我们已知质点质量为 $m$，受力为 $F = A \cos \omega t$，根据牛顿第二定律：

$$ m \frac{d^2 x}{dt^2} = A \cos \omega t $$

即加速度：

$$ \frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{A}{m} \cos \omega t $$

先对时间积分一次得到速度：

$$ v(t) = \frac{dx}{dt} = \int \frac{A}{m} \cos \omega t \, dt $$

计算积分：

$$ v(t) = \frac{A}{m} \cdot \frac{1}{\omega} \sin \omega t + C_1 $$

由初始条件 $\left.v\right|_{t=0}=0$，代入得：

$$ 0 = \frac{A}{m\omega} \cdot 0 + C_1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 0 $$

所以速度表达式为：

$$ v(t) = \frac{A}{m\omega} \sin \omega t $$

再积分一次得到位移：

$$ x(t) = \int v(t) \, dt = \int \frac{A}{m\omega} \sin \omega t \, dt $$

计算积分：

$$ x(t) = -\frac{A}{m\omega^2} \cos \omega t + C_2 $$

由初始条件 $\left.x\right|_{t=0}=a$，代入得：

$$ a = -\frac{A}{m\omega^2} \cdot 1 + C_2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = a + \frac{A}{m\omega^2} $$

因此运动方程为：

$$ \boxed{x(t) = a + \frac{A}{m\omega^2} \left(1 - \cos \omega t\right)} $$

难度：★★☆☆☆