人邮高数 第5章 第5-2-11题
📝 题目
11．若平面 $x+k y-2 z=0$ 与平面 $2 x-3 y+z=0$ 的夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ，求 $k$ 的值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知两平面方程分别为： 平面1：$x + k y - 2 z = 0$，法向量为 $\vec{n}_1 = (1, k, -2)$。 平面2：$2x - 3y + z = 0$，法向量为 $\vec{n}_2 = (2, -3, 1)$。
两平面夹角 $\theta$ 满足公式： $$ \cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \|\vec{n}_2\|} $$ 已知夹角为 $\frac{\pi}{4}$，所以： $$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
先计算点积： $$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 2 + k \cdot (-3) + (-2) \cdot 1 = 2 - 3k - 2 = -3k $$ 取绝对值：$|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| = | -3k | = 3|k|$。
再计算模长： $$ \|\vec{n}_1\| = \sqrt{1^2 + k^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + k^2 + 4} = \sqrt{k^2 + 5} $$ $$ \|\vec{n}_2\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $$
代入夹角公式： $$ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3|k|}{\sqrt{k^2 + 5} \cdot \sqrt{14}} $$ 两边平方： $$ \frac{1}{2} = \frac{9k^2}{14(k^2 + 5)} $$ 交叉相乘： $$ 14(k^2 + 5) = 18k^2 $$ $$ 14k^2 + 70 = 18k^2 $$ $$ 70 = 4k^2 $$ $$ k^2 = \frac{35}{2} $$ 所以： $$ k = \pm \sqrt{\frac{35}{2}} = \pm \frac{\sqrt{70}}{2} $$
因此，$k$ 的值为： $$ \boxed{\pm \frac{\sqrt{70}}{2}} $$
难度：★★☆☆☆