人邮高数 第5章 第5-3-13题
📝 题目
13．求点 $P_{0}(2,3,1)$ 在直线 $\displaystyle l: \frac{x+7}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+2}{3}$ 上的投影．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求点 $P_0(2,3,1)$ 在直线 $$ l:\ \frac{x+7}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+2}{3} $$ 上的投影点坐标。
**第一步：将直线化为参数方程** 由对称式方程可得方向向量为 $\vec{s}=(1,2,3)$，且直线上一点可取 $(-7,-2,-2)$。 令参数为 $t$，则直线参数方程为： $$ \begin{cases} x = -7 + t,\$$2pt] y = -2 + 2t,\$$2pt] z = -2 + 3t. \end{cases} $$
**第二步：设投影点为参数对应点** 设投影点 $Q$ 对应参数 $t_0$，则 $$ Q = (-7 + t_0,\ -2 + 2t_0,\ -2 + 3t_0). $$
**第三步：利用垂直条件建立方程** 向量 $\overrightarrow{P_0Q}$ 为： $$ \overrightarrow{P_0Q} = ( -7 + t_0 - 2,\ -2 + 2t_0 - 3,\ -2 + 3t_0 - 1 ) = ( t_0 - 9,\ 2t_0 - 5,\ 3t_0 - 3). $$ 由于 $Q$ 是投影点，$\overrightarrow{P_0Q}$ 应与直线方向向量 $\vec{s}=(1,2,3)$ 垂直，即点积为零： $$ ( t_0 - 9 ) \cdot 1 + (2t_0 - 5) \cdot 2 + (3t_0 - 3) \cdot 3 = 0. $$
**第四步：解方程** 计算： $$ t_0 - 9 + 4t_0 - 10 + 9t_0 - 9 = 0, $$ $$ (1+4+9)t_0 - (9+10+9) = 0, $$ $$ 14t_0 - 28 = 0, $$ 得 $$ t_0 = 2. $$
**第五步：求投影点坐标** 代入参数方程： $$ x = -7 + 2 = -5,\quad y = -2 + 4 = 2,\quad z = -2 + 6 = 4. $$ 因此投影点为 $$ \boxed{(-5,2,4)}. $$
难度：★☆☆☆☆