人邮高数 第6章 第6-3-37题
📝 题目
37．求函数 $u=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+3 x-2 y$ 在点 $(1,1,2)$ 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们首先计算函数 $$ u = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} + 3x - 2y $$ 的梯度。梯度定义为 $$ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) $$ 分别求偏导数：
$$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x + 3 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = 4y - 2 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial z} = 6z $$
因此梯度向量为 $$ \nabla u = (2x + 3,\; 4y - 2,\; 6z) $$
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**第一步：求在点 $(1,1,2)$ 处的梯度** 代入 $x=1, y=1, z=2$：
$$ \nabla u(1,1,2) = (2\cdot 1 + 3,\; 4\cdot 1 - 2,\; 6\cdot 2) = (5,\; 2,\; 12) $$
所以该点梯度为 $$ \boxed{(5,2,12)} $$
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**第二步：求梯度为零的点** 令每个分量为零：
$$ 2x + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{3}{2} $$ $$ 4y - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2} $$ $$ 6z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 0 $$
因此梯度为零的点是 $$ \boxed{\left(-\frac{3}{2},\ \frac{1}{2},\ 0\right)} $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 此题仅涉及多元函数梯度定义与简单线性方程求解，计算量小，步骤直接。