人邮高数 第1章 第1-1-2题
📝 题目
2．设 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}, A=\{2,3,4\}, B=\{3,6,7\}$ ，求 $A^{C}, B^{C}, A^{C} \cap B^{C},(A \cup B)^{C}$ 。
💡 答案解析
[AI解答]
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已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$，$A=\{2,3,4\}$，$B=\{3,6,7\}$。
1. 求 $A^{C}$（即 $A$ 在 $U$ 中的补集）： $A^{C} = U \setminus A = \{1,5,6,7\}$。
2. 求 $B^{C}$： $B^{C} = U \setminus B = \{1,2,4,5\}$。
3. 求 $A^{C} \cap B^{C}$： $A^{C} \cap B^{C} = \{1,5,6,7\} \cap \{1,2,4,5\} = \{1,5\}$。
4. 求 $(A \cup B)^{C}$： 先求 $A \cup B = \{2,3,4,6,7\}$， 则 $(A \cup B)^{C} = U \setminus (A \cup B) = \{1,5\}$。
由结果可见，$A^{C} \cap B^{C} = (A \cup B)^{C}$，符合德摩根定律。
答案： $A^{C} = \{1,5,6,7\}$， $B^{C} = \{1,2,4,5\}$， $A^{C} \cap B^{C} = \{1,5\}$， $(A \cup B)^{C} = \{1,5\}$。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求A的补集
全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4}，则A的补集为U中不属于A的元素：{1,5,6,7}。
公式：A^C = U \ A
提示：补集即从全集中去掉A中的元素。
步骤 2/4
目标：求B的补集
B={3,6,7}，则B的补集为U中不属于B的元素：{1,2,4,5}。
公式：B^C = U \ B
步骤 3/4
目标：求A^C ∩ B^C
A^C={1,5,6,7}，B^C={1,2,4,5}，交集为公共元素：{1,5}。
公式：A^C ∩ B^C = {x | x∈A^C 且 x∈B^C}
提示：交集取两个集合共有的元素。
步骤 4/4
目标：求(A∪B)^C
先求A∪B={2,3,4,6,7}，再求补集：U中不属于A∪B的元素为{1,5}。
公式：(A∪B)^C = U \ (A∪B)
提示：先并集再补集。
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