习题12-4

1．求函数 $f(x)=\cos x$ 的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这函数．

2．将下列函数展开成 $x$ 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） $\displaystyle \operatorname{sh} x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ； （2） $\ln (a+x) \quad(a\gt 0)$ ； （3）$a^{x} \quad(a\gt 0$ 且 $a \neq 1)$ ； （4） $\sin ^{2} x$ ； （5）$(1+x) \ln (1+x)$ ； （6）$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ．

3．将下列函数展开成 $(x-1)$ 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）$\sqrt{x^{3}}$ ； （2） $\lg x$ ； （3）$x e^{x}$.

4．将函数 $f(x)=\cos x$ 展开成 $\displaystyle \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的幂级数．

5．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 展开成 $(x-3)$ 的幂级数．

6．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+3 x+2}$ 展开成 $(x+4)$ 的幂级数．