同济高数 第11章 第11-3-2题

[AI解答]

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**（1）星形线** 参数方程： $$ x = a\cos^3 t,\quad y = a\sin^3 t,\quad t\in[0,2\pi] $$ 利用面积公式 $$ A = \frac12\oint_C (x\,dy - y\,dx) $$ 先计算微分： $$ dx = -3a\cos^2 t \sin t\,dt,\quad dy = 3a\sin^2 t \cos t\,dt $$ 则 $$ x\,dy = a\cos^3 t \cdot 3a\sin^2 t\cos t\,dt = 3a^2\cos^4 t\sin^2 t\,dt $$ $$ y\,dx = a\sin^3 t \cdot (-3a\cos^2 t\sin t)\,dt = -3a^2\cos^2 t\sin^4 t\,dt $$ 于是 $$ x\,dy - y\,dx = 3a^2(\cos^4 t\sin^2 t + \cos^2 t\sin^4 t)\,dt = 3a^2\cos^2 t\sin^2 t(\cos^2 t + \sin^2 t)\,dt = 3a^2\cos^2 t\sin^2 t\,dt $$ 所以 $$ A = \frac12\int_0^{2\pi} 3a^2\cos^2 t\sin^2 t\,dt = \frac{3a^2}{2}\int_0^{2\pi} \frac14 \sin^2 2t\,dt = \frac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi} \frac{1-\cos 4t}{2}\,dt $$ $$ = \frac{3a^2}{16}\left[ t - \frac14\sin 4t \right]_0^{2\pi} = \frac{3a^2}{16}\cdot 2\pi = \frac{3\pi a^2}{8} $$ 因此星形线面积为 $\frac{3\pi a^2}{8}$。

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**（2）椭圆** 方程化为标准形式： $$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 $$ 取参数方程 $$ x = 4\cos\theta,\quad y = 3\sin\theta,\quad \theta\in[0,2\pi] $$ 则 $$ dx = -4\sin\theta\,d\theta,\quad dy = 3\cos\theta\,d\theta $$ $$ x\,dy - y\,dx = 4\cos\theta\cdot 3\cos\theta\,d\theta - 3\sin\theta\cdot(-4\sin\theta)\,d\theta = 12\cos^2\theta\,d\theta + 12\sin^2\theta\,d\theta = 12\,d\theta $$ 面积 $$ A = \frac12\oint (x\,dy - y\,dx) = \frac12\int_0^{2\pi} 12\,d\theta = 6\cdot 2\pi = 12\pi $$ 因此椭圆面积为 $12\pi$。

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**（3）圆** 方程： $$ x^2 + y^2 = 2ax \quad\Rightarrow\quad (x-a)^2 + y^2 = a^2 $$ 参数方程： $$ x = a + a\cos\theta,\quad y = a\sin\theta,\quad \theta\in[0,2\pi] $$ 则 $$ dx = -a\sin\theta\,d\theta,\quad dy = a\cos\theta\,d\theta $$ $$ x\,dy - y\,dx = (a + a\cos\theta)\cdot a\cos\theta\,d\theta - a\sin\theta\cdot(-a\sin\theta)\,d\theta $$ $$ = a^2\cos\theta + a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta = a^2\cos\theta + a^2 $$ 面积 $$ A = \frac12\int_0^{2\pi} (a^2\cos\theta + a^2)\,d\theta = \frac{a^2}{2}\left[ \sin\theta + \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{a^2}{2}\cdot 2\pi = \pi a^2 $$ 因此圆的面积为 $\pi a^2$。