同济高数 第8章 第8-2-9题

[AI解答]

[AI解答]

**题目**：已知向量 $$ \boldsymbol{a}=2\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k},\quad \boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k},\quad \boldsymbol{c}=\boldsymbol{i}-2\boldsymbol{j} $$ 计算以下各式。

---

### （1）$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}$

**步骤**： 先计算点积：

$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = (2)(1) + (-3)(-1) + (1)(3) = 2 + 3 + 3 = 8 $$

$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = (2)(1) + (-3)(-2) + (1)(0) = 2 + 6 + 0 = 8 $$

于是：

$$ (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} = 8 \cdot ( \boldsymbol{i} - 2\boldsymbol{j} ) = 8\boldsymbol{i} - 16\boldsymbol{j} $$

$$ (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b} = 8 \cdot ( \boldsymbol{i} - \boldsymbol{j} + 3\boldsymbol{k} ) = 8\boldsymbol{i} - 8\boldsymbol{j} + 24\boldsymbol{k} $$

相减得：

$$ (8\boldsymbol{i} - 16\boldsymbol{j}) - (8\boldsymbol{i} - 8\boldsymbol{j} + 24\boldsymbol{k}) = (8-8)\boldsymbol{i} + (-16+8)\boldsymbol{j} + (0-24)\boldsymbol{k} = 0\boldsymbol{i} - 8\boldsymbol{j} - 24\boldsymbol{k} $$

所以：

$$ \boxed{-8\boldsymbol{j} - 24\boldsymbol{k}} $$

---

### （2）$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$

**步骤**： 先计算和向量：

$$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} = (2+1)\boldsymbol{i} + (-3-1)\boldsymbol{j} + (1+3)\boldsymbol{k} = 3\boldsymbol{i} -4\boldsymbol{j} +4\boldsymbol{k} $$

$$ \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} = (1+1)\boldsymbol{i} + (-1-2)\boldsymbol{j} + (3+0)\boldsymbol{k} = 2\boldsymbol{i} -3\boldsymbol{j} +3\boldsymbol{k} $$

计算叉积：

$$ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 3 & -4 & 4 \\ 2 & -3 & 3 \end{vmatrix} $$

按第一行展开：

$$ = \boldsymbol{i} \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} - \boldsymbol{j} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + \boldsymbol{k} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} $$

计算各行列式：

$$ \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = (-4)(3) - (4)(-3) = -12 + 12 = 0 $$

$$ \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (3)(3) - (4)(2) = 9 - 8 = 1 $$

$$ \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (3)(-3) - (-4)(2) = -9 + 8 = -1 $$

因此：

$$ = 0\,\boldsymbol{i} - 1\,\boldsymbol{j} + (-1)\,\boldsymbol{k} = -\boldsymbol{j} - \boldsymbol{k} $$

所以：

$$ \boxed{-\boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}} $$

---

### （3）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$

**步骤**： 先计算 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$：

$$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} $$

展开：

$$ = \boldsymbol{i} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - \boldsymbol{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + \boldsymbol{k} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} $$

计算：

$$ \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-3)(3) - (1)(-1) = -9 + 1 = -8 $$

$$ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5 $$

$$ \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (-3)(1) = -2 + 3 = 1 $$

所以：

$$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = -8\boldsymbol{i} - 5\boldsymbol{j} + 1\boldsymbol{k} $$

再与 $\boldsymbol{c} = \boldsymbol{i} - 2\boldsymbol{j}$ 做点积：

$$ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = (-8)(1) + (-5)(-2) + (1)(0) = -8 + 10 + 0 = 2 $$

所以：

$$ \boxed{2} $$

---

**最终答案**： （1）$-8\boldsymbol{j} - 24\boldsymbol{k}$ （2）$-\boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}$ （3）$2$