同济高数 第9章 第9-4-4题

教材习题

📝 题目

4．设 $z=\arcsin (x-y)$ ，而 $x=3 t, y=4 t^{3}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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已知： $$ z = \arcsin(x - y), \quad x = 3t, \quad y = 4t^3 $$

首先，令中间变量： $$ u = x - y = 3t - 4t^3 $$ 则 $$ z = \arcsin u $$

由链式法则： $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} $$

计算： $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} $$ $$ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = 3 - 12t^2 $$

因此： $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{3 - 12t^2}{\sqrt{1 - (3t - 4t^3)^2}} $$

化简被开方部分： $$ (3t - 4t^3)^2 = 9t^2 - 24t^4 + 16t^6 $$ 所以： $$ 1 - (3t - 4t^3)^2 = 1 - 9t^2 + 24t^4 - 16t^6 $$

最终结果为： $$ \boxed{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{3 - 12t^2}{\sqrt{1 - 9t^2 + 24t^4 - 16t^6}}} $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：引入中间变量 u = x - y
令 u = x - y = 3t - 4t^3，则 z = arcsin(u)。
公式：u = x - y
提示：注意复合函数的结构，先确定中间变量。
步骤 2/7
目标：应用链式法则求导
dz/dt = (dz/du) * (du/dt)。
公式：dz/dt = (dz/du) * (du/dt)
提示：链式法则是处理复合函数求导的关键。
步骤 3/7
目标：计算 dz/du
z = arcsin(u)，所以 dz/du = 1/√(1 - u^2)。
公式：d(arcsin u)/du = 1/√(1 - u^2)
提示：记住反三角函数的导数公式。
步骤 4/7
目标：计算 du/dt
u = 3t - 4t^3，所以 du/dt = 3 - 12t^2。
公式：du/dt = 3 - 12t^2
提示：对多项式逐项求导。
步骤 5/7
目标：代入链式法则
dz/dt = (1/√(1 - u^2)) * (3 - 12t^2) = (3 - 12t^2)/√(1 - (3t - 4t^3)^2)。
公式：dz/dt = (3 - 12t^2)/√(1 - (3t - 4t^3)^2)
提示：将 u 代回表达式。
步骤 6/7
目标：化简根号内的表达式
计算 (3t - 4t^3)^2 = 9t^2 - 24t^4 + 16t^6，则 1 - (3t - 4t^3)^2 = 1 - 9t^2 + 24t^4 - 16t^6。
公式：1 - (3t - 4t^3)^2 = 1 - 9t^2 + 24t^4 - 16t^6
提示：展开平方时注意符号和指数。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此 dz/dt = (3 - 12t^2)/√(1 - 9t^2 + 24t^4 - 16t^6)。
公式：dz/dt = (3 - 12t^2)/√(1 - 9t^2 + 24t^4 - 16t^6)
提示：结果可以保留根号形式，无需进一步化简。

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