同济高数 第3章 第3-7-*10题
📝 题目
＊10．求曲线 $y=\tan x$ 在点 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ 处的曲率圆方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求曲线 $y = \tan x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ 处的曲率圆方程。曲率圆（密切圆）的圆心位于曲线在该点的法线上，半径为曲率半径 $R$。
**第一步：求一阶导数和二阶导数** $$ y' = \sec^2 x, \quad y'' = 2\sec^2 x \tan x $$ 在 $x = \frac{\pi}{4}$ 处： $$ \tan\frac{\pi}{4} = 1,\quad \sec\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} $$ 所以： $$ y' = (\sqrt{2})^2 = 2,\quad y'' = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4 $$
**第二步：计算曲率 $k$ 和曲率半径 $R$** 曲率公式： $$ k = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^2\right)^{3/2}} $$ 代入： $$ k = \frac{4}{\left(1 + 2^2\right)^{3/2}} = \frac{4}{(5)^{3/2}} = \frac{4}{5\sqrt{5}} $$ 因此曲率半径： $$ R = \frac{1}{k} = \frac{5\sqrt{5}}{4} $$
**第三步：求曲率中心坐标** 曲线在点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ 处的法线斜率为： $$ -\frac{1}{y'} = -\frac{1}{2} $$ 法线方向单位向量为： $$ \left( -\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)? $$ 注意：法线方向与切线垂直，切线方向为 $(1, 2)$，所以法线方向可取为 $(-2, 1)$ 或 $(2, -1)$，需要根据曲线凹向确定符号。
因为 $y'' = 4 > 0$，曲线在这一点是凹向上的，所以曲率中心应在法线指向曲线凹侧的方向，即指向曲线内部。 在点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ 处，法线方向向量为 $(-2, 1)$ 时指向左上方，而曲线在切线之上（凹向上），因此应取 $(-2, 1)$ 方向。单位化： $$ \text{单位法向量} = \frac{(-2, 1)}{\sqrt{5}} $$ 曲率中心： $$ (x_0, y_0) = \left( \frac{\pi}{4}, 1 \right) + R \cdot \frac{(-2, 1)}{\sqrt{5}} $$ 而 $R = \frac{5\sqrt{5}}{4}$，所以： $$ R \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{5}{4} $$ 因此： $$ x_0 = \frac{\pi}{4} - \frac{5}{4} \cdot 2 = \frac{\pi}{4} - \frac{5}{2} $$ $$ y_0 = 1 + \frac{5}{4} \cdot 1 = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} $$
**第四步：写出曲率圆方程** 曲率圆方程为： $$ \left( x - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{5}{2} \right) \right)^2 + \left( y - \frac{9}{4} \right)^2 = R^2 $$ 其中 $R^2 = \left( \frac{5\sqrt{5}}{4} \right)^2 = \frac{125}{16}$。
因此最终方程为： $$ \boxed{\left( x - \frac{\pi}{4} + \frac{5}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{9}{4} \right)^2 = \frac{125}{16}} $$
难度：★★☆☆☆