同济高数 第4章 第4-3-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\int} \ln x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分 $$ \displaystyle{\int} \ln x \, \mathrm{d}x. $$
**步骤1：选择分部积分法** 令 $$ u = \ln x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x. $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x, \quad v = x. $$
**步骤2：应用分部积分公式** 分部积分公式为 $$ \displaystyle{\int} u \, \mathrm{d}v = uv - \displaystyle{\int} v \, \mathrm{d}u. $$ 代入得 $$ \displaystyle{\int} \ln x \, \mathrm{d}x = x \ln x - \displaystyle{\int} x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = x \ln x - \displaystyle{\int} 1 \, \mathrm{d}x. $$
**步骤3：计算剩余积分** $$ \displaystyle{\int} 1 \, \mathrm{d}x = x + C, $$ 其中 $C$ 为任意常数。
**步骤4：写出最终结果** $$ \boxed{x \ln x - x + C}. $$
难度评级：★☆☆☆☆ （这是最基础的分部积分例题之一，只需一次分部即可完成。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：选择分部积分法
令 u = ln x, dv = dx，则 du = (1/x) dx, v = x。
公式：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：选择 u 为 ln x，因为其导数简单。
步骤 2/4
目标：应用分部积分公式
代入公式得 ∫ ln x dx = x ln x - ∫ x * (1/x) dx = x ln x - ∫ 1 dx。
公式：∫ ln x dx = x ln x - ∫ 1 dx
提示：注意简化被积函数。
步骤 3/4
目标：计算剩余积分
∫ 1 dx = x + C，其中 C 为任意常数。
公式：∫ 1 dx = x + C
提示：不要忘记积分常数。
步骤 4/4
目标：写出最终结果
所以 ∫ ln x dx = x ln x - x + C。
提示：结果可写成 x(ln x - 1) + C。
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