同济高数 第4章 第4-4-16题
📝 题目
16． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{2+\sin x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分 $$ \int \frac{dx}{2+\sin x}. $$
**步骤1：使用万能代换** 令 $$ t = \tan\frac{x}{2}, $$ 则 $$ \sin x = \frac{2t}{1+t^2},\quad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt. $$ 代入原积分得 $$ \int \frac{dx}{2+\sin x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{2 + \frac{2t}{1+t^2}}\,dt = \int \frac{2}{1+t^2} \cdot \frac{1}{\frac{2(1+t^2) + 2t}{1+t^2}}\,dt. $$
**步骤2：化简被积函数** 分母通分： $$ 2 + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{2(1+t^2) + 2t}{1+t^2} = \frac{2t^2 + 2t + 2}{1+t^2}. $$ 于是 $$ \int \frac{dx}{2+\sin x} = \int \frac{2}{1+t^2} \cdot \frac{1+t^2}{2(t^2 + t + 1)}\,dt = \int \frac{1}{t^2 + t + 1}\,dt. $$
**步骤3：配方并积分** 对分母配方： $$ t^2 + t + 1 = \left(t + \frac12\right)^2 + \frac34. $$ 因此 $$ \int \frac{1}{t^2 + t + 1}\,dt = \int \frac{1}{\left(t+\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\,dt. $$ 利用公式 $\displaystyle{\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac1a \arctan\frac{u}{a} + C}$，令 $$ u = t + \frac12,\quad a = \frac{\sqrt{3}}{2}, $$ 得 $$ \int \frac{1}{t^2 + t + 1}\,dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2t+1}{\sqrt{3}} + C. $$
**步骤4：回代变量** 由 $t = \tan\frac{x}{2}$，得到 $$ \int \frac{dx}{2+\sin x} = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2\tan\frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} \right) + C. $$
因此最终结果为 $$ \boxed{\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2\tan\frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} \right) + C}}. $$
难度：★★☆☆☆ （涉及万能代换与有理函数积分，步骤规范但计算量适中）